2021牛客多校3 - Minimum grid(二分图最大匹配-最大流)

Posted 2021-08-27 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个 $n\ast n$ 的棋盘，其中有 $m$ 个位置是需要填数字的位置，每个位置需要填 $[0,k]$ 的数字中的其中一个，可以重复，现在给出每一行的最大值和每一列的最大值，要求填出一种合法的方案，且权值和最小，题目保证一定有解

题目分析：

首先考虑行最大值和列最大值的最大值，记为 $x$，找到最大值需要等于 $x$ 的行和列，设有 $n$ 行和 $m$ 列的最大值需要等于 $x$。原本是需要在每一行、每一列共 $n+m$ 个位置放置 $x$，发现如果在他们交叉位置放置 $x$ 的话，可以少放置一些 $x$，每有一对行和列匹配，就可以少放置一个 $x$，如此一来转换成了二分图最大匹配问题

考虑完了 $x$ 后，再考虑次大值 $y$，我们发现如果将 $y$ 放在原本应该放置 $x$ 的行或列的话，并不会对答案造成影响，又因为题目保证了一定有解，加上我们也并不关心到底该如何去放置，所以对于 $y$ 来说，在可以匹配的交叉点放置 $y$，其余没有匹配到的位置一定是存在着可以放置的位置的

所以综上所述，对于权值 $w$ 来说，提供的贡献就是 $(n+m-match)\ast w$，其中 $match$ 是最大匹配数

到此观察到题目中有一句特别显眼的“提示”：（$b[i]$ 和 $c[i]$ 分别是行最大值和列最大值）

所以每次建图最多有 $500$ 个点， $500^2=2e5$ 条边，跑二分图最大匹配的话，用匈牙利或最大流都是可以的

代码：

// Problem: Minimum grid
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11254/C
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 6000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=8e6+100;
vector<int>node[1000100];
bool maze[2010][2010];
struct Edge
{
	int to,w,next;
}edge[N];//边数
int head[N],cnt;
void addedge(int u,int v,int w)
{
	edge[cnt].to=v;
	edge[cnt].w=w;
	edge[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt++;
	edge[cnt].to=u;
	edge[cnt].w=0;//反向边边权设置为0
	edge[cnt].next=head[v];
	head[v]=cnt++;
}
int d[N],now[N];//深度 当前弧优化
bool bfs(int s,int t)//寻找增广路
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	queue<int>q;
	q.push(s);
	now[s]=head[s];
	d[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
		{
			int v=edge[i].to;
			int w=edge[i].w;
			if(d[v])
				continue;
			if(!w)
				continue;
			d[v]=d[u]+1;
			now[v]=head[v];
			q.push(v);
			if(v==t)
				return true;
		}
	}
	return false;
}
int dinic(int x,int t,int flow)//更新答案
{
	if(x==t)
		return flow;
	int rest=flow,i;
	for(i=now[x];i!=-1&&rest;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		int w=edge[i].w;
		if(w&&d[v]==d[x]+1)
		{
			int k=dinic(v,t,min(rest,w));
			if(!k)
				d[v]=0;
			edge[i].w-=k;
			edge[i^1].w+=k;
			rest-=k;
		}
	}
	now[x]=i;
	return flow-rest;
}
void init(int n)
{
    memset(now,0,sizeof(int)*(n+5));
	memset(head,-1,sizeof(int)*(n+5));
	cnt=0;
}
int solve(int st,int ed)
{
	int ans=0,flow;
	while(bfs(st,ed))
		while(flow=dinic(st,ed,inf))
			ans+=flow;
	return ans;
}
int solve(vector<int>row,vector<int>col) {
	if(row.empty()||col.empty()) {
		return 0;
	}
	int lena=row.size(),lenb=col.size();
	init(lena+lenb+2);
	int st=lena+lenb,ed=st+1;
	for(int i=0;i<lena;i++) {
		addedge(st,i,1);
	}
	for(int i=0;i<lenb;i++) {
		addedge(i+lena,ed,1);
	}
	for(int i=0;i<lena;i++) {
		for(int j=0;j<lenb;j++) {
			if(maze[row[i]][col[j]]) {
				addedge(i,j+lena,1);
			}
		}
	}
	return solve(st,ed);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m,k;
	read(n),read(m),read(k);
	for(int i=1,x;i<=n;i++) {
		read(x);
		node[x].push_back(i);
	}
	for(int i=1,x;i<=n;i++) {
		read(x);
		node[x].push_back(n+i);
	}
	while(m--) {
		int x,y;
		read(x),read(y);
		maze[x][y]=true;
	}
	LL ans=0;
	for(int i=k;i>=0;i--) {
		vector<int>row,col;
		for(auto it:node[i]) {
			if(it<=n) {
				row.push_back(it);
			} else {
				col.push_back(it-n);
			}
		}
		ans+=1LL*(row.size()+col.size()-solve(row,col))*i;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}