递归迭代和分治：递归的典型例子

Posted 2021-08-27 纵横千里，捭阖四方

​本期我们一起看几个典型的递归的例子。

递归就是每次调用的时候方法是自己，但是参数变了，就是下面这个样子：

1.斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34….，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

我们来看看递归该怎么写。

1、确定递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值，代码如下：

int f(int n){​}

2、找出递归结束的条件

显然，当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下：

int f(int n){    if(n <= 2){        return 1;    }}

3、找出函数的等价关系式

题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。

所以最终代码如下：

int f(int n){    // 1.先写递归结束条件    if(n <= 2){        return 1;    }    // 2.接着写等价关系式    return f(n-1) + f(n - 2);}

搞定，是不是很简单？

2.青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、确定递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：

int f(int n){}

2、找出递归结束的条件

我说了，求递归结束的条件，你直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1。代码如下：

int f(int n){    if(n == 1){        return 1;    }}

3.找出函数的等价关系式

每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。

第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：

int f(int n){    if(n == 1){        return 1;    }    ruturn f(n-1) + f(n-2);}​

代码看上去没问题对不对？

其实是有问题的，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。

关于递归结束条件是否够严谨问题是递归算法的重要一环，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：

int f(int n){    //f(0) = 0,f(1) = 1，等价于 n<=2时，f(n) = n。    if(n <= 2){        return n;    }    ruturn f(n-1) + f(n-2);}​

那结束条件该怎么确定呢？其实最简单的方式就是写几个试一试，n足够小的时候也不过为 0 1 2 3 这几个种情况，或者是执行结束或者开始的时候几个元素，带进去试一试看看对不对就行了。

3.反转链表

反转单链表。例如链表为：1->2->3->4。反转后为 4->3->2->1。我们前面已经介绍过，这里再从递归的角度分析一下。

链表的节点定义如下：

class Node{    int date;    Node next;}

还是老套路，三要素一步一步来。

1、定义递归函数功能

假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表，其中 head 表示链表的头节点。代码如下：

Node reverseList(Node head){​}

2. 寻找结束条件

当链表只有一个节点，或者如果是空表的话，你应该知道结果吧？直接啥也不用干，直接把 head 返回呗。代码如下：

Node reverseList(Node head){    if(head == null || head.next == null){        return head;    }}

3. 寻找等价关系

这个的等价关系不像 n 是个数值那样，比较容易寻找。但是我告诉你，它的等价条件中，一定是范围不断在缩小，对于链表来说，就是链表的节点个数不断在变小，所以，如果你实在找不出，你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍，看看结果是咋样的。例如链表节点如下：

我们就缩小范围，先对 2->3->4递归下试试，即代码如下：

Node reverseList(Node head){    if(head == null || head.next == null){        return head;    }    // 我们先把递归的结果保存起来，先不返回，因为我们还不清楚这样递归是对还是错。，    Node newList = reverseList(head.next);}​

我们在第一步的时候，就已经定义了 reverseLis t函数的功能可以把一个单链表反转，所以，我们对 2->3->4反转之后的结果应该是这样：

我们把 2->3->4 递归成 4->3->2。不过，1 这个节点我们并没有去碰它，所以 1 的 next 节点仍然是连接这 2。

接下来呢？该怎么办？

其实，接下来就简单了，我们接下来只需要把节点 2 的 next 指向 1，然后把 1 的 next 指向 null,不就行了？，即通过改变 newList 链表之后的结果如下：

也就是说，reverseList(head) 等价于 reverseList(head.next) + 改变一下1，2两个节点的指向。好了，等价关系找出来了，代码如下(有详细的解释)：

//用递归的方法反转链表public static Node reverseList2(Node head){    // 1.递归结束条件    if (head == null || head.next == null) {             return head;         }         // 递归反转 子链表         Node newList = reverseList2(head.next);         // 改变 1，2节点的指向。         // 通过 head.next获取节点2         Node t1  = head.next;         // 让 2 的 next 指向 1         t1.next = head;         // 1 的 next 指向 null.        head.next = null;        // 把调整之后的链表返回。        return newList;    }​

上面我们介绍了几个典型的递归题目，那是不是有优化空间呢？我们下期接着看。

4.汉诺塔问题

汉诺塔问题是最经典的递归问题了，如果这个问题理解了，递归基本就理解清楚了。题目是这样：

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:

(1) 每次只能移动一个盘子;

(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;

(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。

将原来的 A, B, C 重命名为 origin, buffer, destination

这个题目的递归解答简洁地让人惊讶：

class Solution {    public void hanota(List<Integer> origin, List<Integer> buffer, List<Integer> destination) {        // 使用递归函数来完成,需要计数        move(origin.size(), origin, destination, buffer);    }​    private void move(int n, List<Integer> origin, List<Integer> destination, List<Integer> buffer) {        // 如果碰到了一个栈的底,那么说明这个位置上已经没有盘子移动了        if (n <= 0) return;        // 从 origin 移动到 buffer 上        move(n - 1, origin, buffer, destination);        // 从 origin 移动到 destination 上        destination.add(origin.get(origin.size() - 1));        origin.remove(origin.size() - 1);        // 从 buffer 移动到 destination 上        move(n - 1, buffer, destination, origin);    }}

这个题目画画图比较好理解，现在我们先不画了，读者可以在网上找找看，文字描述过程是这样的：

首先用盘子数 1 开始模拟: 直接就可以从 origin 移动到 destination.

盘子数为 2 时: 先从 origin 移动 1 到 buffer(origin -> buffer) , 然后再把 2 从 origin 移动到 destination(origin -> destination), 再从 buffer 移动 1 到 destination(buffer -> destination).

从上一步可以知道,我们可以将上俩盘子从 origin 移动到 buffer (origin -> buffer), 下一步只需要把 3 移动到 destination (origin -> destination), 再移动剩余的那俩就好了(buffer -> destination).

从上一步可以知道,我们可以将上面仨盘子从 origin 移动到 buffer...

以此类推, 总是可以移动完的.是一种递归结构.每一步需要完成的参考()括号中的注释。