栈5：前中后缀表达式

Posted 2021-08-27 纵横千里，捭阖四方

​前面我们分析的几个计算器的题目都是最后返回一个结果值就行了，但是在很多场景下，我们只是处理表达式而不能仅仅做运算，例如字符串处理的时候，我们只是根据需要进行调整，输出仍然是一个表达式串。这种情况在各类计算机语言的编译、自然语言处理等场景都大量用到，为此还有专门的名字：前缀表达式，中缀表达式和后缀表达式。

这几种表达式的处理更适合在后面的树专题中分析，但是我们后面要整理的关于树的内容已经非常多了。所以我们这里就了解一下。

https://www.cnblogs.com/menglong1108/p/11619896.html

1.三种表达式的概念

前缀、中缀、后缀表达式是对表达式的不同记法，其区别在于运算符相对于操作数的位置不同，前缀表达式的运算符位于操作数之前，中缀和后缀同理。如下图，其实这就对应了树的前中后三种遍历方式。

对应的三种表达式就是：

中缀表达式：1 + (2 + 3) × 4 - 5前缀表达式：- + 1 × + 2 3 4 5后缀表达式：1 2 3 + 4 × + 5 -

从上面的例子我们也可以看到 中缀表达式是最像人话的，它是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。 

虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式再进行求值。

（1）前缀表达式

前缀表达式的运算符位于两个相应操作数之前，前缀表达式又被称为前缀记法或波兰式。

前缀表达式的计算机求值过程是从右至左扫描表达式。遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算，并将结果入栈。重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果

示例：

计算前缀表达式的值：- + 1 × + 2 3 4 5

1）从右至左扫描，将5，4，3，2压入堆栈；2）遇到+运算符，弹出2和3（2为栈顶元素，3为次顶元素），计算2+3的值，得到5，将5压入栈；3）遇到×运算符，弹出5和4，计算5×4的值，得到20，将20压入栈；4）遇到1，将1压入栈；5）遇到+运算符，弹出1和20，计算1+20的值，得到21，将21压入栈；6）遇到-运算符，弹出21和5，计算21-5的值，得到16为最终结果

可以看到，用计算机计算前缀表达式是非常容易的，不像计算后缀表达式需要使用正则匹配。

（2）后缀表达式

后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于两个相应操作数之后，后缀表达式也被称为后缀记法或逆波兰式。

后缀表达式的计算机求值与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：

1. 从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈；

2. 遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算；

3. 将结果入栈。

   重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。

示例：

计算后缀表达式的值：1 2 3 + 4 × + 5 -

1）从左至右扫描，将1，2，3压入栈；2）遇到+运算符，3和2弹出，计算2+3的值，得到5，将5压入栈；3）遇到4，将4压入栈4）遇到×运算符，弹出4和5，计算5×4的值，得到20，将20压入栈；5）遇到+运算符，弹出20和1，计算1+20的值，得到21，将21压入栈；6）遇到5，将5压入栈；7）遇到-运算符，弹出5和21，计算21-5的值，得到16为最终结果

（3）中缀表达式转化为前缀和后缀表达式的转化步骤

因为中缀表达式是给人看的，而前缀和后缀是给计算机看的，所以必然存在转换关系，中缀转成其他两种的步骤是：

按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号，将运算符移动到对应括号的前面（前缀表达式）或后面（后缀表达式）。去掉括号，得到前缀或后缀表达式

示例：

中缀表达式：1+(2+3)×4-5

1）加括号式子变成 ((1+((2+3)×4))-5)2）移动运算符对于前缀表达式，变成了 -(+(1×(+(23)4))5)对于后缀表达式：变成了((1((23)+4)×)+5)-3）去掉括号前缀表达式：- + 1 × + 2 3 4 5后缀表达式：1 2 3 + 4 × + 5 -

 2.中缀表达式转换为后缀表达式

中缀转后缀的转换过程需要用到栈，这里我们假设栈A用于协助转换，并使用数组B用于存放转化后的后缀表达式具体过程如下：

1）如果遇到操作数，我们就直接将其放入数组B中。

2）如果遇到运算符，则我们将其放入到栈A中，遇到左括号时我们也将其放入栈A中。

3）如果遇到一个右括号，则将栈元素弹出，将弹出的运算符输出并存入数组B中直到遇到左括号为止。注意，左括号只弹出并不存入数组。

4）如果遇到任何其他的操作符，如（“+”， “*”，“（”）等，从栈中弹出元素存入数组B直到遇到发现更低优先级的元素(或者栈为空)为止。弹出完这些元素后，才将遇到的操作符压入到栈中。有一点需要注意，只有在遇到” ) “的情况下我们才弹出” ( “，其他情况我们都不会弹出” ( “。

5）如果我们读到了输入的末尾，则将栈中所有元素依次弹出存入到数组B中。

6）到此中缀表达式转化为后缀表达式完成，数组存储的元素顺序就代表转化后的后缀表达式。

 执行图示过程如下：

最后输出 

1 3 9 2 - * 9 +

简单分析一下流程，建议你画画图自己写一下， 如果你能自己想明白就不用看下面这一大段话了：

当遇到操作数时（规则1），直接存入数组B中，当i=1（规则2）时，此时运算符为+，直接入栈，当i=3(规则2)再遇到运算符*，由于栈内的运算符+优先级比*低，因此直接入栈，当i=4时，遇到运算符’(‘，直接入栈，当i=6时，遇运算符-，直接入栈，当i=8时（规则3），遇’)’，-和’(‘直接出栈，其中运算符-存入后缀数组B中，当i=9时（规则5），由于*优先级比+高，而+与+平级，因此和+出栈，存入数组B，而后面的+再入栈，当i=10（规则5），结束，+直接出栈存入数组B，此时数组B的元素顺序即为1 3 9 2 - * + 9 +，这就是中缀转后缀的过程。

接着转成后缀后，我们来看看计算机如何利用后缀表达式进行结果运算，通过前面的分析可知，后缀表达式是没有括号的，而且计算过程是按照从左到右依次进行的，因此在后缀表达的求值过程中，当遇到运算符时，只需要取前两个操作数直接进行计算即可，而当遇到操作数时不能立即进行求值计算，此时必须先把操作数保存等待获取到运算符时再进行计算，如果存在多个操作数，其运算次序是后出现的操作数先进行运算，也就是后进先运算，因此后缀表达式的计算过程我们也需要借助栈来完成，该栈用于存放操作数，后缀表达式的计算过程及其图解如下：

借助栈的程序计算过程：

参考实现：

public class CalculateExpression {  /**   * 中缀转后缀   * @param expstr 中缀表达式字符串   * @return   */  public static String toPostfix(String expstr){      //创建栈,用于存储运算符      SeqStack<String> stack = new SeqStack<>(expstr.length());​      String postfix="";//存储后缀表达式的字符串      int i=0;      while (i<expstr.length())      {          char ch=expstr.charAt(i);          switch (ch)          {              case '+':              case '-':                  //当栈不为空或者栈顶元素不是左括号时,直接出栈,因此此时只有可能是*/+-四种运算符(根据规则4),否则入栈                  while (!stack.isEmpty() && !stack.peek().equals("(")) {                      postfix += stack.pop();                  }                  //入栈                  stack.push(ch+"");                  i++;                  break;              case '*':              case '/':                  //遇到运算符*/                  while (!stack.isEmpty() && (stack.peek().equals("*") || stack.peek().equals("/"))) {                      postfix += stack.pop();                  }                  stack.push(ch+"");                  i++;                  break;              case '(':                  //左括号直接入栈                  stack.push(ch+"");                  i++;                  break;              case ')':                  //遇到右括号(规则3)                  String out = stack.pop();                  while (out!=null && !out.equals("("))                  {                      postfix += out;                      out = stack.pop();                  }                  i++;                  break;              default:                  //操作数直接入栈                  while (ch>='0' && ch<='9')                  {                      postfix += ch;                      i++;                      if (i<expstr.length())                          ch=expstr.charAt(i);                      else                          ch='=';                  }                  //分隔符                  postfix += " ";                  break;          }      }      //最后把所有运算符出栈(规则5)      while (!stack.isEmpty())          postfix += stack.pop();      return postfix;  }​  /**   * 计算后缀表达式的值   * @param postfix 传入后缀表达式   * @return   */  public static int calculatePostfixValue(String postfix){      //栈用于存储操作数,协助运算      LinkedStack<Integer> stack = new LinkedStack<>();      int i=0, result=0;      while (i<postfix.length())      {          char ch=postfix.charAt(i);          if (ch>='0' && ch<='9')          {              result=0;              while (ch!=' ')              {                  //将整数字符转为整数值ch=90                  result = result*10 + Integer.parseInt(ch+"");                  i++;                  ch = postfix.charAt(i);              }              i++;              stack.push(result);//操作数入栈          }          else          {  //ch 是运算符,出栈栈顶的前两个元素              int y= stack.pop();              int x= stack.pop();              switch (ch)              {   //根据情况进行计算                  case '+': result=x+y; break;                  case '-': result=x-y; break;                  case '*': result=x*y; break;                  case '/': result=x/y; break;   //注意这里并没去判断除数是否为0的情况              }              //将运算结果入栈              stack.push(result);              i++;          }      }      //将最后的结果出栈并返回      return stack.pop();  }  //测试  public static void main(String args[]){      String expstr="1+3*(9-2)+90";      String postfix = toPostfix(expstr);      System.out.println("中缀表达式->expstr=  "+expstr);      System.out.println("后缀表达式->postfix= "+postfix);      System.out.println("计算结果->value= "+calculatePostfixValue(postfix));  }}

3.leetcode150 逆波兰表达式

根据 逆波兰表示法，求表达式的值。

有效的算符包括 +、-、*、/ 。每个运算对象可以是整数，也可以是另一个逆波兰表达式。

说明：

整数除法只保留整数部分。

给定逆波兰表达式总是有效的。换句话说，表达式总会得出有效数值且不存在除数为 0 的情况。

示例：

示例1.输入：tokens = ["2","1","+","3","*"]输出：9解释：该算式转化为常见的中缀算术表达式为：((2 + 1) * 3) = 9示例2.输入：tokens = ["4","13","5","/","+"]输出：6解释：该算式转化为常见的中缀算术表达式为：(4 + (13 / 5)) = 6示例3：输入：tokens = ["10","6","9","3","+","-11","*","/","*","17","+","5","+"]输出：22解释：该算式转化为常见的中缀算术表达式为：  ((10 * (6 / ((9 + 3) * -11))) + 17) + 5= ((10 * (6 / (12 * -11))) + 17) + 5= ((10 * (6 / -132)) + 17) + 5= ((10 * 0) + 17) + 5= (0 + 17) + 5= 17 + 5= 22

逆波兰表达式严格遵循「从左到右」的运算。计算逆波兰表达式的值时，使用一个栈存储操作数，从左到右遍历逆波兰表达式，进行如下操作：

• 如果遇到操作数，则将操作数入栈；

• 如果遇到运算符，则将两个操作数出栈，其中先出栈的是右操作数，后出栈的是左操作数，使用运算符对两个操作数进行运算，将运算得到的新操作数入栈。

整个逆波兰表达式遍历完毕之后，栈内只有一个元素，该元素即为逆波兰表达式的值。

代码：

class Solution {    public int evalRPN(String[] tokens) {        Deque<Integer> stack = new LinkedList<Integer>();        int n = tokens.length;        for (int i = 0; i < n; i++) {            String token = tokens[i];            if (isNumber(token)) {                stack.push(Integer.parseInt(token));            } else {                int num2 = stack.pop();                int num1 = stack.pop();                switch (token) {                    case "+":                        stack.push(num1 + num2);                        break;                    case "-":                        stack.push(num1 - num2);                        break;                    case "*":                        stack.push(num1 * num2);                        break;                    case "/":                        stack.push(num1 / num2);                        break;                    default:                }            }        }        return stack.pop();    }​    public boolean isNumber(String token) {        return !("+".equals(token) || "-".equals(token) || "*".equals(token) || "/".equals(token));    }}