[CF780H]Intranet of Buses

Posted 2021-08-27 Tan_tan_tann

Intranet of Buses

题解

计算几何出乎意料地好调，只调了一个小时，但卡精度二分 $50$ 次还是太离谱了。

首先，原题相当于给了我们一个奇怪 $n$ 边形，让我们取该多边形的周长上 $m$ 个等分点，使得它们中与相邻两个点的连线的最大长度最小。

与相邻连线的最大长度最小，这使得我们很快想到了二分这个最大长度。但它的等分点的位置不是固定的，是在不断运动的的，我们将这些等分点连接后形成的新的 $m$ 边形的形状与边长都是会变的，不好直接判断。

我们先单独看一下某两个相邻的等分点点它们的连线边长变化，由于这个运动是不断循环的，我们可以只考虑 $0,\frac{C}{m})$ 的时间区间内的边长变化。

在这段时间中，这些点有可能经过不同的边，方向发生变化，也有可能一直在一条边上运动。我们可以考虑将它们的运动拆分成在不同的边对上的运动，而当它们运动的边与它们的起点终点是固定的时候，它们运动时其间之间的距离明显是一个二次函数。

我们设点 $u$，$v$ 的起点分别为 $(ax,ay),(bx,by)$，运动的方向向量分别为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha ),(\cos \beta ,\sin \beta )$，它们运动的距离 $x$ 与它们间的距离可以表示为：

$$\begin{array}{c}y=(ax+x\cos \alpha -bx-x\cos \beta {)}^2+(ay+x\sin \alpha -by-x\sin \beta {)}^2\\ =((\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2)x^2+2(\cos \alpha -\cos \beta +\sin \alpha -\sin \beta )x+(ax-bx{)}^2+(ay-by{)}^2\end{array}$$

而我们是想要它的长度小于我们二分的值，而它又明显是一个下凹的函数，我们可以通过求根公式将它的合法区间解出来，这对应的是多边形上一段边的区间，可以被转化为一段时间区间。

对于一个等分点，它在多边形上对应的区间是固定的，我们可以找到对于它来说合法的边的区间，转化为时间区间。由于它对应的边对有多个，所以它的合法时间区间也会有多个，我们需要将它求区间并，得到它的合法时间集合。

而我们需要使得有一个时刻，相邻的所有等分点之间距离都要小于我们二分的 $mid$，相当于我们要找到对于所有合法时间集合的交集。如果存在交集，当前的距离就是合法的。

如何同时维护区间交集与并集呢？ ODT!!!，不会真的有人想打吧。。。

很明显，肯定有一个合法的时间点是端点，我们相当于要找到一个被所有几何包含的端点，于是我们可以采用差分的思想。

我们可以将加入的所有合法时间区间的左右端点拿出来排序，并记录下它们的颜色(即它们属于哪一个等分点的合法时间集合)。加入左端点时对当前区间对应颜色的 $cnt++$，加入右端点时对 $cnt--$。当某时刻某种颜色的 $cnt$ 大于 $0$ 时，说明它在此时合法。

我们的任务变成了排序后看有没有某一个时刻所有颜色的 $cnt$ 都大于 $0$ ，所有等分点都合法，这就很好维护了。因为要排序，所以单次判断是 $O\left(n\log n\right)$ 的。

我们只需要预处理出来每个等分点对应的分段函数，再二分满足条件的最大边长即可。

时间复杂度 $O\left(n{\log }^{2}n\right)$ ，但这题精度卡得离谱，要二分 $50$ 次。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define MAXM 400005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int mo=998244353;
const int jzm=2333;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
typedef pair<double,double> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y){return x+y<mo?x+y:x+y-mo;}
int qkpow(int a,int s){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%mo;a=1ll*a*a%mo;s>>=1;}return t;}
double sqr(double x){return x*x;}
int n,m,tot,cnt[MAXN],idx;double summ,alen;
struct point{
	double x,y;point(){x=y=0;}
	point(double X,double Y){x=X;y=Y;}
	point operator + (const point &rhs)const{return point(x+rhs.x,y+rhs.y);}
}a[MAXN]; 
double dist(point x,point y){return sqrt(sqr(x.x-y.x)+sqr(x.y-y.y));}
point walk(point p,double len,point agl){return p+point(agl.x*len,agl.y*len);}
struct line{
	point s,t,agl;double len,pre;line(){len=pre=0;}
	line(point S,point T){s=S;t=T;len=dist(s,t);agl=point((t.x-s.x)/len,(t.y-s.y)/len);}
}s[MAXN];
struct ming{
	double l,r,a,b,c;ming(){l=r=a=b=0;}
	ming(double L,double R,double A,double B,double C){l=L;r=R;a=A;b=B;c=C;} 
	double delta(){return sqr(b)-4.0*a*c;}
	double leftRoot(){return (-b-sqrt(delta()))/(2.0*a);}
	double rightRoot(){return (-b+sqrt(delta()))/(2.0*a);} 
}b[MAXM];
struct range{
	double wh;int col;bool typ;range(){wh=0;col=0;typ=0;}
	range(double X,int Y,bool Z){wh=X;col=Y;typ=Z;}
	bool friend operator < (const range &x,const range &y){if(Fabs(x.wh-y.wh)<eps)return x.typ>y.typ;return x.wh<y.wh;}
}d[MAXM<<2];
void insert(double L,double R){
	if(L>R)return ;
	int l=(int)floor(L/alen),r=(int)floor(R/alen);
	if(l>m)l-=m,L-=summ;if(r>m)r-=m,R-=summ;int las=idx;
	if(l==r){
		d[++idx]=range(L-alen*l,l,1);
		d[++idx]=range(R-alen*l,l,0);
	}
	else{
		d[++idx]=CF游戏出现out of memory 怎么解决

 Codeforces Round #261 (Div. 2)——Pashmak and Buses
 Buses and People （线段树，偏序集）
 Cf老是掉线然后一串英文 out of memory
 cf老是出现out of memory
 Square Root of Permutation - CF612E