2021牛客暑期多校训练营 3

Posted 2021-08-25 满天星！

2021牛客暑期多校训练营 3

E Math

题意：

问从1到 n 中 有多少对整数对（x,y),
满足 (x^2 + y^2) /(x*y+1) =k( k为一个完全平方数）。

思路：

第一想法，先构造，假设 x = i ,y = i ^3 ,那么（x^2 + y^2)/(x*y+1) = i^2 ; 就意味着k一定是完全平方数。(k=x ^ 2)
后进行推导发现，整数对（x,y）根据 (y,ky-x),进行类似套娃，一直进行。（x,x^3)(k=x ^2) 、(x ^3 , x^2*x ^3 - x)(k= x ^ 2 )、 （ x ^ 5 - x , x ^ 7 - 2 * x ^ 3）(k = x ^ 2) …
因为 y 是整数对（x,y）中最大数的，只需要判断 y 是否接近n,将 y 在小于 1e18 之内满足条件的数都存进容器中，后进行排序，并查找，统计多少个在1 到 n 之间 y 的数量 。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long  ll;
typedef __int128 ull;
vector<ll>v;
int main()
{
    v.push_back(1);
    for(ull i=2;i<=1e6;i++)
    {
        ull x=i,y=i*i*i,k=i*i;
        while(y<=1e18)
        {
            v.push_back(y);
            ull temp=k*y-x;
               x=y;
               y=temp;
        }
    } sort(v.begin(),v.end());
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {   ll n;
        ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);
        cin>>n;
        cout<<upper_bound(v.begin(),v.end(),n)-v.begin()<<endl;
    }return 0;
}

J Counting Triangles

题意：
找到一个有 n 个顶点的无向完全图。图形的每条边都涂成黑色或白色。要你找出三角形 (a, b, c) (a < b < c) 的个数，使得 (a, b), (b, c), (c, a) 之间的边具有相同的颜色。

思路：
n个点，一系列操作求出邻接矩阵，每个颜色要么是黑色要么是白色，求同色三角形个数。
考虑求非同色三角形个数，显然，非同色三角形要么是两条黑色边一条白色边要么是两条白色边一条黑色边。
对于非同色三角形的三个点，其中一个点连接的两条边颜色相同，两个点连接的两条边颜色不同。
并且对于两条边颜色不同的点，无论第三条边是什么颜色，它都一定是非同色三角形。
所以我们只需要枚举每个点，看这个点能构成多少个两边颜色不同的三角形，然后将答案除以 2 就可以了，⽤总数减去即可

以一个点为例，图形中从一个点出发有n-1条边，如果有num条黑边，则有num-n-1条白边。从一个点出发构成异色三角形个数=黑边数 * 白边数/2。

n个点可以构成的三角形个数 Cn (3) 即n(n-1)(n-2)/3! 个。
(n * ( n - 1 ) * (n - 2 ) / 6 )

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
namespace GenHelper
{
    unsigned z1,z2,z3,z4,b,u;
    unsigned get()
    {
        b=((z1<<6)^z1)>>13;
        z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;
        b=((z2<<2)^z2)>>27;
        z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;
        b=((z3<<13)^z3)>>21;
        z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;
        b=((z4<<3)^z4)>>12;
        z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;
        return (z1^z2^z3^z4);
    }
    bool read() {
      while (!u) u = get();
      bool res = u & 1;
      u >>= 1; return res;
    }
    void srand(int x)
    {
        z1=x;
        z2=(~x)^0x233333333U;
        z3=x^0x1234598766U;
        z4=(~x)+51;
      	u = 0;
    }
}
using namespace GenHelper;
bool edge[8005][8005];
int main() {
  int n, seed;
  cin >> n >> seed;
  srand(seed);
  for (int i = 0; i < n; i++)
  for (int j = i + 1; j < n; j++)
   {
     edge[j][i] = edge[i][j] = read();
   }
    ll ans=0,num;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
      num=0;
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        if(edge[i][j]) num++;
    } ans+=num*(n-num-1); }
    ll sum=1ll*n*(n-1)*(n-2)/6;
    cout<<sum-ans/2<<endl;
 	return 0;
}

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