省选图论专题

Posted 2021-08-22 Harris-H

省选图论专题

P1344 [USACO4.4]追查坏牛奶

输出最小割和在最小割前提下的最小割边数目。

最小割跑$dinic$，最小割边转换一下：令边权$w=w\times bl+1$

$bl>1000$，这样跑出来的最小割答案$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}bl)$就是边数。

因为所有的$1$加起来不会大于等于$bl$，所以$ans\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}bl=cn{t}_{edge}$

而$\frac{ans}{bl}$就是真实的答案，同理$su{m}_1<bl$ 不会被算入真实的答案中。

	st=1,ed=n;int bl=1001;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		w=w*bl+1;
		add(u,v,w);
	}
	ll ans=dinic();
	printf("%lld %lld\\n",ans/bl,ans%bl);

P1606 [USACO07FEB]Lilypad Pond G

给定起点和终点，求跳马步到终点需要填加的最小结点，以及方案数。

草，是最短路！若目标节点没有莲花。

然后就是最短路和最短路计数。

本题难点在于建图，而对于有荷花的点贡献为0，0权边对于方案数处理会出现问题，因为如果0权边在环里会重复计数。

所以我们考虑建图的时候如果下一个结点是莲化，就一直找到第一个水点建立1权边，终点也建立1权边，最后所有边权就都是1了。不会出现计数问题。

此题应该建立有向图，建立无向图的话边不符合定义了，且统计方案数会出错。

void dfs(int u,int x,int y){
	vis[x][y]=1;
	for(int i=0;i<8;i++){
		int nx=x+dir[i][0],ny=y+dir[i][1];
		if(nx>0&&nx<=n&&ny>0&&ny<=m&&!vis[nx][ny]){
			if(a[nx][ny]==1) dfs(u,nx,ny);
			else if(a[nx][ny]!=2){
				vis[nx][ny]=1;
				add(u,id[nx][ny]);
			}
		}
	}
}
int st,ed;
int f(int x,int y){
	return (x-1)*m+y;
}
bitset<N>in;
ll d[N],p[N];
void spfa(){
	queue<int>q;q.push(st);mst(d,0x3f),d[st]=0,p[st]=1;in[st]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();in[u]=0;
		for(int i=h[u];i;i=e[i].nt){
			int v=e[i].to;
			if(d[v]>d[u]+1){
				d[v]=d[u]+1;
				p[v]=p[u];
				if(!in[v]) q.push(v),in[v]=1;
			}
			else if(d[v]==d[u]+1){
				p[v]+=p[u];
			}
		}
	}
	if(d[ed]==inf) puts("-1");
	else printf("%lld\\n%lld\\n",d[ed]-1,p[ed]);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			id[i][j]=f(i,j);
			if(a[i][j]==3) st=id[i][j];
			if(a[i][j]==4) ed=id[i][j];
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(!a[i][j]||a[i][j]==3) mst(vis,0),dfs(id[i][j],i,j);
	spfa();
	return 0;
}

P1685 游览

有向无环可重边带权图，给定起点终点，求从起点到终点所有路线的权和+$(cnt-1)\times t_0$，$cnt$路线数。

DAG(有向无环图) 递推要拓扑排序后递推，不然有的结点信息没收集完全就转移过去了。

void spfa(){
	c[st]=1;
	queue<int>q;q.push(st);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].nt){
			int v=e[i].to,w=e[i].w;
			d[v]=(d[v]+d[u]+c[u]*w)%mod;
			c[v]=(c[v]+c[u])%mod;
			if(!--in[v])
			q.push(v);
			}
		}
	d[ed]=(d[ed]+(c[ed]-1)*t0)%mod;
	printf("%lld\\n",d[ed]);
}

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鸽了…