2021牛客多校1 - Find 3-friendly Integers(数位dp)

Posted 2021-08-22 Frozen_Guardian

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题目大意：定义 $3-friendly$ 数字为，将十进制的数字 $x$ 转换为字符串后，存在一个子串所代表的数字，可以被 $3$ 所整除，求区间 $[L,R]$ 内的 $3-friendly$ 数字的个数

题目分析：当思维题来做的话，就是大于 $100$ 的数字一定是 $3-friendly$ 数字，证明的话也很简单，因为十进制下长度大于等于 $3$ 的数字转换为字符串有三个前缀和，根据鸽巢原理一定存在着一个子串的 $sum=0$，证毕

如果用数位 dp 去实现的话确实也是个裸题，但是涉及到了前导零的特判，所以记录一发数位 dp 的解法

注意，因为是多组样例，每个样例的 $limit$ 所代表的上限可能各不相同，所以 $limit=true$ 的时候应该爆搜而不应该记忆化

代码：

// Problem: Find 3-friendly Integers
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11166/F
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int b[20];
LL dp[20][2][3][3][3][2];
LL dfs(int pos,int s0,int s1,int s2,int sum,int limit,int lead) {
	if(pos==-1) {
		return s0==1||s1==2||s2==2;
	}
	if(!limit&&dp[pos][s0][s1][s2][sum][lead]!=-1) {
		return dp[pos][s0][s1][s2][sum][lead];
	}
	int up=limit?b[pos]:9;
	LL ans=0;
	for(int i=0;i<=up;i++) {
		if(lead&&i==0) {
			ans+=dfs(pos-1,s0,s1,s2,sum,limit&&i==up,1);
			continue;
		}
		int nsum=(sum+i)%3;
		if(nsum==0) {
			ans+=dfs(pos-1,min(s0+1,1),s1,s2,nsum,limit&&i==up,lead&&i==0);
		} else if(nsum==1) {
		 	ans+=dfs(pos-1,s0,min(s1+1,2),s2,nsum,limit&&i==up,lead&&i==0);
		} else if(nsum==2) {
			ans+=dfs(pos-1,s0,s1,min(s2+1,2),nsum,limit&&i==up,lead&&i==0);
		}
	}
	if(!limit) {
		dp[pos][s0][s1][s2][sum][lead]=ans;
	}
	return ans;
}
LL solve(LL x) {
	int cnt=0;
	while(x) {
		b[cnt++]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(cnt-1,0,0,0,0,1,1);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		LL l,r;
		read(l),read(r);
		write(solve(r)-solve(l-1)),putchar('\\n');
	}
	return 0;
}