CodeForces - 1553E Permutation Shift(暴力+置换群求环)

Posted 2021-08-22 Frozen_Guardian

题目链接：点击查看

题目大意：假设初始时的数组为 $[1,2,3,...,n]$，同时 $k$ 为偏移量，则原数组会循环右移 $k$ 个单位，假设 $k=3,n=5$，则偏移后的数组为 $[3,4,5,1,2]$

现在给出一个数组，问能否通过至多 $m$ 次交换，使得其变成偏移 $k$ 个单位后的数组，如果可以的话，哪些 $k$ 是符合条件的

题目分析：假设 $k$ 是固定的，就变成了经典的置换群求换问题。简单说一下就是，我们最终的目标是需要得到 $n$ 个自环，假设现在的置换群中有 $t$ 个环，每次交换可以使得自环的个数增加 $1$，所以至少需要 $n-t$ 次交换才能达到目标。这个可以 $O(n)$ 去解决。

所以一个 $O(n^2)$ 的解决方法就出来了，比赛的时候也是感觉可能存在着优化的思路但是自己不会就下机了。赛后看了题解发现就是多了个剪枝而已

假设我们至多可以交换 $m$ 次，那么最多会影响到 $2\ast m$ 个环，也就是说初始时就需要有 $n-2\ast m$ 个自环才行。设 $cnt[k]$ 是偏移量为 $k$ 时的自环个数，不难看出 $\sum cnt[i]=n$。又因为 $m\le \frac{n}{3}$，所以 $cnt[k]\ge n-2\ast m$ 即 $cnt[k]\ge \frac{n}{3}$，所以这样的 $k$ 最多有 $3$ 个

剩下的暴力就可以了

代码：

// Problem: E. Permutation Shift
// Contest: Codeforces - Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1553/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int p[N],a[N],cnt[N],n,m;
bool vis[N];
bool check(int k) {
	int tot=0;
	for(int i=k+1;i<=n;i++) {
		p[++tot]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=k;i++) {
		p[++tot]=a[i];
	}
	int ans=n;
	memset(vis,false,n+5);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(vis[i]) {
			continue;
		}
		ans--;
		int pos=i;
		while(!vis[pos]) {
			vis[pos]=true;
			pos=p[pos];
		}
	}
	return ans<=m;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		read(n),read(m);
		memset(cnt,0,sizeof(int)*(n+5));
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			read(a[i]);
			cnt[(i-a[i]+n)%n]++;
		}
		vector<int>ans;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			if(cnt[i]>=n-2*m&&check(i)) {
				ans.push_back(i);
			}
		}
		printf("%d",(int)ans.size());
		for(auto it:ans) {
			printf(" %d",it);
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}