Python小白的数学建模课-20.网络流优化案例

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Python小白的数学建模课-20.网络流优化案例相关的知识，希望对你有一定的参考价值。


  • 在实际工作和数模竞赛中，网络最大流问题、最小费用流问题和最小费用最大流问题都有很多延伸和推广的应用。
  • 本文介绍了常见的网络最大流问题、最小费用流问题的应用与推广，及其解题方法。
  • 本文选择多源多汇物流转运问题、多商品流问题案例，详细介绍网络流问题的分析方法和解决方案，并使用线性规划方法建模和编程。
  • 『Python小白的数学建模课 @ Youcans』带你从数模小白成为国赛达人。

1. 网络流问题的应用与推广

流在生活中十分常见，例如交通系统中的人流、车流、物流，供水管网中的水流，金融系统中的现金流，网络中的信息流。网络流优化问题是基本的网络优化问题，应用非常广泛，遍及通讯、运输、电力、工程规划、任务分派、设备更新以及计算机辅助设计等领域。

网络流优化问题最重要的指标是每条边的成本和容量限制，既要考虑成本最低（最短路径问题），又要满足容量限制（最大流问题），由此产生了网络最大流问题、最小费用流问题和最小费用最大流问题。在《Python小白的数学建模课-19.网络流优化》一文中，我们详细介绍了网络最大流问题、最小费用流问题和最小费用最大流问题的算法、编程和案例。

不论在实际工作中，还是在数模竞赛中，网络最大流问题、最小费用流问题和最小费用最大流问题都有很多延伸和推广的应用。小白同学对于网络图的概念和思维逻辑比较生疏，面对变换和深化的题型往往对题目能有基本判断和思路、但找不到具体的解决方法，觉得应该能做出来但就是差一点。

本文选择多源多汇物流转运问题、多商品流问题案例，详细介绍网络流问题的分析方法和解决方案，并使用线性规划方法建模和编程。

对于小白同学来说，这两个案例的建模和编程都有些复杂。别急，也别怕，问题分析和程序说明都很详细，只要静下来慢慢读，将程序说明、源程序和运行结果对照着读，相信小白同学也能看懂。


2. 网络最大流问题的应用与推广

2.1 指定流量的可行流

我们在《19.网络流优化》一文讨论了网络最大流的算法。如果不是计算最大流，而是要计算指定流量 v 的可行流，可以用如下图所示的增广路（相当于辅助线）方法处理。

（1）在容量网络 G 上增加一个顶点 t’ 和一条边 (t,t’)，构建一个新的容量网络 G’，令边 (t,t’) 的容量为 v；

（2）对于容量网络 G‘，计算从源点 s 到汇点 t’ 的最大流 f m a x f_{max} fmax​，显然 f m a x ≤ v f_{max}\\leq v fmax​≤v；

（3）若 v < f m a x v<f_{max} v<fmax​，则容量网络 G 不存在满足流量 v 的可行流；若 v = f m a x v=f_{max} v=fmax​，则从最大流 f m a x f_{max} fmax​ 的路径中去掉边 (t,t’) 即得到容量网络 G 满足流量 v 的可行流。

另一种思路是，设置源点 s /汇点 t 的流量为 v，再按最小费用流即可。这种方法不仅得到了流量 v 的可行流，而且是最小费用流，但该方法的计算量较大。主要程序如下，完整程序详见《Python小白的数学建模课-19.网络流优化》。

G2.add_node("s", demand=-v)  # nx.min_cost_flow() 的设置要求
G2.add_node("t", demand=v)  # 设置源点/汇点的流量
# 求最小费用流(demand=v)
minFlowCost = nx.min_cost_flow_cost(G2)  # 求最小费用流的费用
minFlowDict = nx.min_cost_flow(G2)  # 求最小费用流

2.2 多源点多汇点的最大流

《19.网络流优化》一文讨论的网络流优化问题，都是单源点、单汇点的网络。对于多源点单汇点、单源点多汇点、多源点多汇点的容量网络的最大流问题，可以通过如下图所示的增加一个超级源点和/或超级汇点的方法处理。

（1）在容量网络 G 上增加一个超级源点 s 和一个超级源点 t；从超级源点 s 向网络 G 中的每个源点连一条容量为 + ∞ +\\infty +∞ 的边，从网络 G 中的每个汇点向超级汇点 t 连一条容量为 + ∞ +\\infty +∞ 的边。于是得到了一个新的容量网络 G’。

（2）对于容量网络 G‘，计算从超级源点 s 到超级汇点 t 的最大流 f m a x f_{max} fmax​，即为多源多汇容量网络 G 的最大流。

使用 NetworkX 工具包，也有另一种特殊方法可以解决多源多汇最大流问题。

NetworkX 中求解费用最小流问题的函数 min_cost_flow()、min_cost_flow_cost() 是求解费用最小流问题的函数，并不是设定供应点、需求点，而是通过设置顶点属性 ‘demand’ 确定供应点、需求点及各顶点的净流量，因而允许网络中存在多个供应点、需求点。

min_cost_flow(G, demand=‘demand’, capacity=‘capacity’, weight=‘weight’)
min_cost_flow_cost(G, demand=‘demand’, capacity=‘capacity’, weight=‘weight’)

因此，对于指定流量的多源多汇网络可行流问题，只要在每个源点、汇点的顶点属性 ‘demand’ 设置对应的供应量、需求量，再按最小费用流即可。这种方法不仅得到了流量 v 的可行流，而且是最小费用流。类似地，对于多源多汇网络的最大流问题，可以参考《19.网络流优化》中“3.4 案例：运输费用”的方法，v 从 1 逐渐递增，计算所有流量下的最小费用流，直到达到网络容量的极限，即得到容量网络的最大费用流。该方法不需要构造新的容量网络，编程实现简单，而且可以获得最大流量的最小费用流，但计算量很大。


2.3 带顶点容量约束的最大流

标准形式的网络流优化问题，只有边的容量约束，没有顶点的容量约束。在实际问题中，顶点所表示的工厂、仓库、销售点，都存在最大储存量，因而带有顶点的容量约束。

对于顶点容量约束的网络流问题，可以通过如下图所示的将每个带约束的顶点 N 分拆为两个顶点（入顶点 Nin 和出顶点 Nout）的方法处理：

（1）将指向顶点 N 的边，改为指向入顶点 Nin；

（2）将顶点 N 所指向的边，改为出顶点 Nout 所指向的边；

（3）增加一条从入顶点 Nin 指向出顶点 Nout 的边，边的容量为顶点 N 的容量，单位费用为 0。

于是得到了一个新的容量网络 G’。由此，原有网络 G 的顶点 N 的容量限制，转化为网络 G’ 的边 (Nin,Nout) 的容量限制。带顶点约束的容量网络 G 的最大流问题，转化为新的标准形式的容量网络 G’ 的最大流问题。


3. 最小费用流问题的应用与推广

3.1 运输问题

有出发地（供应点、供应量）和目的地（需求点、需求量），没有转运点，没有路段（边）的容量限制，目标是总运输成本最小或总利润最大。

3.2 指派问题

出发地（供应点、供应量=1）是人，目的地（需求点、需求量=1）是任务，没有转运点，没有路段（边）的容量限制，目标是总指派成本最小或总利润最大。

3.3 转运问题

有出发地（供应点、供应量）和目的地（需求点、需求量），有转运点，没有路段（边）的容量限制（或带有容量限制），目标是总流量费用最小或总利润最大。

3.4 最大流问题

最大流问题是特殊的最小费用流问题：有供应点、需求点、转运点，有路段（边）的容量限制，没有供应量和需求量的限制，目标是通过网络到目的地的总流量最大。

3.5 最短路问题

有供应点（供应量=1）、需求点（需求量=1）、转运点，没有路段（边）的容量限制，目标是通过网络到目的地的总距离最短。


4. 案例：多源多汇的物流转运问题

4.1 问题描述

如图所示，某公司的工厂（供应点）位于F1、F2，仓库（中转点）位于W1、W2，零售商（需求点）位于R1、R2、R3、R4。从工厂生产的产品先送到仓库，再由仓库发到零售商。图中给出了各供应点和需求点的流量、每条发货线路的最大流量、单位流量的运输成本，要求在产销平衡的条件下，找出总运输费用最小的运输方案。

4.2 问题分析

这是一个运输路径规划问题，也是一个多源点、多汇点的最小费用流问题。

对于多源多汇的最小费用流问题，构造一个费用网络 G，网络 G 的各条边没有容量限制，单位流量的运输成本为边的权值 w。F1、F2 是网络 G 的源点（供应点），R1~R4 是汇点（需求点），W1、W2 是中间节点。F1、F2 的供应量与 R1~R4 的需求量是平衡的。因此可以用 NetworkX 的 maximum_flow() 函数求出最小费用流。

该问题也是一个典型的线性规划问题，可以用线性规划方法求解。
m i n    ∑ i , j ∈ E w i j f i j s . t . :    { ∑ j f i j ≤ − v i    , i ∈ S ∑ j f j i = v i    , i ∈ T ∑ i f i k − ∑ j f k j = 0    , k ∉ S , T min\\;\\sum_{i,j\\in E} w_{ij}f_{ij}\\\\ s.t.:\\;\\begin{cases} \\sum_j f_{ij} \\leq -v_i \\;,i \\in S\\\\ \\sum_j f_{ji}=v_i \\;,i \\in T\\\\ \\sum_i f_{ik} - \\sum_j f_{kj} = 0 \\;,k\\notin S,T\\\\ \\end{cases} mini,j∈E∑​wij​fij​s.t.:⎩⎪⎨⎪⎧​∑j​fij​≤−vi​,i∈S∑j​fji​=vi​,i∈T∑i​fik​−∑j​fkj​=0,k∈/​S,T​

式中：f(i,j) 表示路段 (i,j) 的流量，w(i,j) 表示路段 (i,j) 的单位流量运输成本，S 表示源点（供应点），T 表示汇点（需求点）。

对于上式描述的线性规划问题，可以用 PuLP工具包求解（参见《Python小白的数学建模课-03.线性规划》），编程步骤如下：

（1） 导入 PuLP库函数；
（2） 定义一个线性规划问题；
（3）定义决策变量，决策变量的上下限：

    f11：F1-W1 流量, 0<=f11<=600
    f12：F1-W2 流量, 0<=f12<=600
    f21：F2-W1 流量, 0<=f21<=400
    f22：F2-W2 流量, 0<=f22<=400
    w11：W1-R1 流量, 0<=w11<=200
    w12：W1-R2 流量, 0<=w12<=150
    w13：W1-R3 流量, 0<=w13<=350
    w14：W1-R4 流量, 0<=w14<=300
    w21：W2-R1 流量, 0<=w21<=200
    w22：W2-R2 流量, 0<=w22<=150
    w23：W2-R3 流量, 0<=w23<=350
    w24：W2-R4 流量, 0<=w24<=300

（4）定义目标函数：

    min cost = 2*f11 + 3*f12 + 3*f21 +   f22 + 2*w11 + 6*w12
             + 3*w13 + 6*w14 + 4*w21 + 4*w22 + 6*w23 + 5*w24

（5）定义约束条件：

    f11 + f12 <= 600
    f21 + f22 <= 400
    f11 + f21 = w11 + w12 + w13 + w14
    f12 + f22 = w21 + w22 + w23 + w24
    w11 + w21 = 200
    w12 + w22 = 150
    w13 + w23 = 350
    w14 + w24 = 300

注意，f11+f12<=600, f21+f22<=400，意味着允许存在产销不平衡的情况。

（6）求解规划问题，输出优化结果

本文给出了基于 NetworkX 工具包和基于 PuLP 工具包的两种方法的程序，以便小白理解图论中的最小费用流问题与线性规划问题的联系。


4.3 Python 例程

# mathmodel21_v1.py
# Demo20 of mathematical modeling algorithm
# Demo of network flow problem optimization with NetworkX
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-07-18

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
import networkx as nx  # 导入 NetworkX 工具包
import pulp      # 导入 pulp库

# # 4. 多源多汇最小费用流问题 (Capacity network with multi source and multi sink)
# # 4.1 费用网络
# 创建有向图
G1 = nx.DiGraph()  # 创建一个有向图 DiGraph
G1.add_edges_from([('F1','W1',{'capacity': 9e5, 'weight': 2}), # F1~F2：工厂
                  ('F1','W2',{'capacity': 9e5, 'weight': 3}),  # W1~W2：仓库
                  ('F2','W1',{'capacity': 9e5, 'weight': 3}),
                  ('F2','W2',{'capacity': 9e5, 'weight': 1}),
                  ('W1','R1',{'capacity': 9e5, 'weight': 2}),  # R1~R4：零售店
                  ('W1','R2',{'capacity': 9e5, 'weight': 6}),
                  ('W1','R3',{'capacity': 9e5, 'weight': 3}),
                  ('W1','R4',{'capacity': 9e5, 'weight': 6}),
                  ('W2','R1',{'capacity': 9e5, 'weight': 4}),
                  ('W2','R2',{'capacity': 9e5, 'weight': 4}),
                  ('W2','R3',{'capacity': 9e5, 'weight': 6}),
                  ('W2','R4',{'capacity': 9e5, 'weight': 5})]) # 添加边的属性 'capacity', 'weight'
G1.add_node("F1", demand=-600)  # nx.min_cost_flow() 的设置要求
G1.add_node("F2", demand=-400)  # 设置源点的流量，负值表示净流出
G1.add_node("R1", demand=200)  # 设置汇点的流量，正值表示净流入
G1.add_node("R2", demand=150)
G1.add_node("R3", demand=350)
G1.add_node("R4", demand=300)
pos={'F1':(2,6.5),'F2':(2,3.5),'W1':(5,6.5),'W2':(5,3.5),'R1':(9,8),'R2':(9,6),'R3':(9,4),'R4':(9,2)}  # 指定顶点绘图位置

# # 4.2 用 NetworkX 求最小费用流
# 求最小费用流(demand=v)
minFlowCost = nx.min_cost_flow_cost(G1)  # 求最小费用流的费用
minFlowDict = nx.min_cost_flow(G1)  # 求最小费用流
# minFlowCost, minFlowDict = nx.network_simplex(G2)  # 求最小费用流--与上行等效

# 整理边的标签，用于绘图显示
# 数据格式转换
edgeCapacity = nx.get_edge_attributes(G1, 'weight')
edgeLabel = {}  # 边的标签
for i in edgeCapacity.keys():  # 整理边的标签，用于绘图显示
    edgeLabel[i] = f'w={edgeCapacity[i]:}'  # 边的容量
edgeLists = []
for i in minFlowDict.keys():
    for j in minFlowDict[i].keys():
        edgeLabel[(i,j)] += ',f=' + str(minFlowDict[i][j])  # 取出每条边流量信息存入边显示值
        if minFlowDict[i][j] > 0:
            edgeLists.append((i, j))

print("1. NetworkX 网络与图（最小费用流优化结果）：")  # NetworkX 工具包
print("最小费用:{}".format(minFlowCost))  # 输出最小费用的值
print("最小费用流的路径及流量: ", minFlowDict)  # 输出最小费用流的途径和各路径上的流量
print("最小费用流的路径：", edgeLists)  # 输出最小费用流的途径

# 绘制有向网络图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.text(1.2,6.4,"600",color='navy')
ax.text(1.2,3.4,"400"以上是关于Python小白的数学建模课-20.网络流优化案例的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 

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