[ARC123F]Insert Addition

Posted 2021-08-21 Tan_tan_tann

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[ARC123F]Insert Addition相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Insert Addition

题解

前置芝士：Stern-Brocot 树与 Farey 序列

~~只是简要叙述，没啥用，建议跳过~~

Stern-Brocot树是一种维护分数的数据结构，树上的节点都是最简形式的分数，且像二叉查找树一样是有序的，在这棵树上我们可以 $O\\left(log\\,n\\right)$ 的查找到一个最简形式的分数。
与其说其是一颗树，它更像一个序列，最开始只有 $\\{\\frac{0}{1},\\frac{1}{0}\\}$ ，再不断通过序列中相邻两项 $a / b$ 与 $c / d$ 像糖水混合一样得到新的点 $\\frac{a+b}{c+d}$ ，通过糖水混合的原理，显然是有序的。
很明显，如果一直这样进行下去，这个序列将会变得无限大，而 $F a r e y$ 序列则是选取其中分母不超过某个值得点构成得序列。
很明显，这两者都是可以像线段树一样通过 $O\\left(nlog\\,n\\right)$ 的时间复杂度生成，而对上面的节点，我们可以采用生成它的两个点 $(\\frac{a}{b},\\frac{c}{d})$ 的形式来表示，这种表示方法是唯一的，而且更方便它的遗传与变异。

如果你想了解更多与它相关的东西，可以参考上面的链接。
下面我们的做法讲涉及到它的几条性质。

进入正题

~~应该还不晚~~

由于本题要求的序列构建方式与Stern-Brocot树十分相似，我们很容易想到这上面去。
我们可以讲原题中的 $a$ 与 $b$ 转化成一个系数对 $(1, 0)$ 与 $(0, 1)$ ，序列的生成也就像Stern-Brocot，变成了参数对的左右相加。

性质1

对于可以某种方式相邻的两点，它们的系数对 $x_1,y_1)$ 与 $x_2,y_2)$ 一定满足条件 $x_1y_2-x_2y_1=1$ 。
显然，这两者之间有一个是由另一个与其它的系数对一起构成的。
我们不妨设 $x_2,y_2)$ 是由 $x_1,y_1)$ 与 $x_3,y_3)$ 一起构成的，显然有
$x_1y_2-x_2y_1=x_1(y_1+y_3)-(x_1+x_3)y_1=x_1y_3-x_3y_1$
显然，当系数对 $x_1,y_1)$ 与 $x_3,y_1)$ 满足条件是，它满足条件。
一直这样追溯下去，最开始的系数对 $(0, 1)$ 与 $(1, 0)$ 显然是满足条件的，所以对于任意两个相邻的系数对，它们都满足这样的条件。

性质2

对于任意两个系数对 $x_1,y_1)$ 与 $x_2,y_2)$ ，如果它们满足条件 $x_1y_2-x_2y_1=1$ ，它们在树上肯定可以以某种方式相邻。
这条性质的证明方法与上一条很像，可以请读者们自行推导。

推论

对于其中的任意一个节点的系数对 $(x, y)$ ，一定满足 $\\left(x,y\\right)=1$ (这里是最大公因数)。
这也就是我们之前说明Stern-Brocot树时的最简分数。
很明显，对于其中的任意一个系数对 $(x, y)$ ，肯定与某一个系数对 $(z, w)$ 一起满足 $x w - y z = 1$ 。
如果 $(x,y)\\not = 1$ ，显然有 $(x,y)(\\frac{xw}{(x,y)}-\\frac{yz}{(x,y)})= 1$ ，