[海军国际项目办公室]矩阵
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[海军国际项目办公室]矩阵相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
矩阵
总所周知， N O I P = N I P O = N a v a l I n t e r n a t i o n a l P r o g r a m O f f i c e NOIP=NIPO=Naval\\,International\\,Program\\,Office NOIP=NIPO=NavalInternationalProgramOffice，所以我们就把NOIP模拟赛的习题叫做海军国际项目办公室吧。
题解
我们考虑将原矩阵转化成一个序列，计算这个序列的个数。
对于一个大小为 n × n n\\times n n×n的矩阵，它上面总共有 2 n 2n 2n个黑点。我们记第 i i i列的两个黑点的行号为 a i , 0 , a i , 1 a_{i,0},a_{i,1} ai,0,ai,1，我们的序列可以表示为 { a 1 , 0 , a 1 , 1 , a 2 , 0 , a 2 , 1 , . . . , a n , 0 , a n , 1 } \\{a_{1,0},a_{1,1},a_{2,0},a_{2,1},...,a_{n,0},a_{n,1}\\} {a1,0,a1,1,a2,0,a2,1,...,an,0,an,1}。
我们记序列中第 i i i个数为 b i b_{i} bi，原序列为 B B B。
由于每一行有且仅有两个数，所以 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]中每个数在原序列中出现刚好两次。
而且同一列中不可能两个黑点的位置都相同，所以 b 2 k + 1 ≠ b 2 k + 2 ( k ∈ [ 0 , n − 1 ] ∩ N ) b_{2k+1}\\not =b_{2k+2}(k\\in [0,n-1]\\cap N) b2k+1=b2k+2(k∈[0,n−1]∩N)。
但如果直接去求这样的序列的转移方法的话无疑是非常复杂的，我们考虑先将不同数之间的顺序去掉，只看这两个数相同或者不同。
我们可以将相同的两个数之间连边，也就得到一个这样的序列：
我们要保证的条件是一条线段的起终点不能同时是 2 k + 1 , 2 k + 2 ( k ∈ [ 0 , n − 1 ] ∩ N ) 2k+1,2k+2(k\\in [0,n-1]\\cap N) 2k+1,2k+2(k∈[0,n−1]∩N)。
我们设长度为 2 i 2i 2i的合法序列有 d p i dp_{i} dpi个，考虑 d p i dp_{i} dpi可以如何转移。
假设我们已经有了一个长度为 2 ( n − 1 ) 2(n-1) 2(n−1)的序列，现在又加上两个位置。
我们现在可以将其中一个位置与前面任意的一个位置替换，得到一个新序列。
可以理解成已有点对 ( u , v ) , ( 2 n − 1 , 2 n ) (u,v),(2n-1,2n) (u,v),(2n−1,2n)转化成 ( u , 2 n − 1 ) ( v , 2 n ) (u,2n-1)(v,2n) (u,2n−1)(v,2n)或 ( u , 2 n ) ( v , 2 n − 1 ) (u,2n)(v,2n-1) (u,2n)(v,2n−1)。
由于之前已经有 d p i − 1 dp_{i-1} dpi−1个不同的合法序列，每个序列中含有 i − 1 i-1 i−1个点对，转化后的序列又都是不同的，所以 d p i + = 2 ( i − 1 ) d p i − 1 dp_{i}+=2(i-1)dp_{i-1} dpi+=2(i−1)dpi−1。
但这并不是完全的 然而笔者考场上并没有看出来 ，这样转化后形成的新点对
(
u
,
2
n
−
1
)
(u,2n-1)
(u,2n−1)与
(
v
,
2
n
)
(v,2n)
(v,2n)的起点
u
,
v
u,v
u,v不能在
2
k
+
1
,
2
k
+
2
(
k
∈
[
0
,
n
−
1
]
∩
N
)
2k+1,2k+2(k\\in [0,n-1]\\cap N)
2k+1,2k+2(k∈[0,n−1]∩N)的位置上，所以我们还要有另一部分的转移。
我们将相邻的两个位置看成一个块，很明显，我们将这样的序列中 ( u , v ) , ( 2 n − 1 , 2 n ) (u,v),(2n-1,2n) (u,v),(2n−1,2n)这两个块去掉后得到的长度为 2 n − 4 2n-4 2n−4的序列仍然是一个合法的序列。
这样的话， ( 2 n , 2 n + 1 ) (2n,2n+1) (2n,2n+1)所属位置是固定的， ( u , v ) (u,v) (u,v)所属的块有 n − 1 n-1 n−1种可能。
而 ( u , v ) (u,v) (u,v)与 ( 2 n , 2 n + 1 ) (2n,2n+1) (2n,2n+1)两个块之间的连接方式又有两种：
所以也有 d p i + = 2 ( i − 1 ) d p i − 2 dp_{i}+=2(i-1)dp_{i-2} dpi+=2(i−1)dpi−2。
可以得出总的转移式，
d
p
i
=
2
(
i
−
1
)
(
d
p
i
−
1
+
d
p
i
−
2
)
dp_{i}=2(i-1)(dp_{i-1}+dp_{i-2})
dpi=2(i−1)(dpi−1+dpi−2)
其实我们也可以反过来想，对于最后一个块，它的两个起点是连在前面的。我们将最后一个块的两个点去掉，将其前面对应的两个点相连。
它既有可能得到一个长度为
2
(
n
−
1
)
2(n-1)
2(n−1)的合法序列，也可能得到一个长度为
2
(
n
−
1
)
2(n-1)
2(n−1)的非法序列。这个非法序列如果去掉那个非法的块就是一个长度为
2
(
n
−
2
)
2(n-2)
2(n−2)的合法序列了。而那两个点无论去掉后是否合法都有
2
(
n
−
1
)
2(n-1)
2(n−1)种练法，所以是
2
(
i
−
1
)
(
d
p
i
−
1
+
d
p
i
−
2
)
2(i-1)(dp_{i-1}+dp_{i-2})
2(i−1)(dpi−1+