(计算机组成原理)第二章数据的表示和运算-第一节4：校验码

Posted 2021-08-18 快乐江湖

文章目录

• 一：预备概念
• • （1）校验码的概念
  • （2）码字和码距
• 二：常见校验码
• • （1）奇偶校验码
  • （2）海明校验码
  • • A：纠错理论
    • B：求解海明码
    • C：补充-全校验位
  • （3）循环冗余校验码（CRC码）
  • • A：基本思想

一：预备概念

（1）校验码的概念

校验码是指能够发现或自动纠正错误的数据编码，也称检错纠错编码
校验码原理为增加一些冗余码，来检验或纠错。

（2）码字和码距

网络传输内容实则是二进制序列，每种编码都对应特定的信息，如下

• 码字：由若干位代码组成的一个字称为码字，比如上面的“00”，“01”
• 码距：将两个码字逐位比较，具有不同的位的个数称为两个码字的距离，比如“00”和“10”距离就是1；一种编码方法可能有若干合法码字，各合法码字之间的最小距离称为“码距”，上面这种编码方案码距为1。

码距为1无检测能力；对于码距大于等于2的校验码，具有检错能力，且码距越大，检错、纠错能力就越强，而且检错能力总大于等于纠错能力

二：常见校验码

（1）奇偶校验码

在原编码的基础上增加一个校验码，它的码距为2，可以检测出一位错误(或奇数位错误)，但不能确定出错位置，也不能检测出偶数位出错，增加的冗余位称为奇偶校验位

实现方法：由若干位有效信息（比如1B，0001 1011），再加上一个二进制位（检验位）组成校验码。如下图所示，校验位的取值为0或1，它的加入使整个校验码中“1”的个数要么是奇数要么是偶数，所欲就有两种可选的校验规律。

• 奇校验码：整个检验码中“1”的个数为奇数
• 偶校验码：整个校验码中“1”的个数为偶数

举个例子，1001101的奇校验码和偶校验码设置如下

奇偶校验具有很大的局限性，只能发现数据代码中的奇数位出错的情况

校验原理：传输前，发送端和接收端会协议确定彼此之间采用奇校验还是偶校验。以偶校验为例，计算机首先会将二进制所有位进行异或运算，所得结果就是偶校验位，比如上面信息“1001101”，进行异或运算“1⊕0⊕0⊕1⊕1⊕0⊕1=0”，故偶校验位为0；接收端再接受信息后会进行异或运算，一旦结果出现1表明错误，比如上图中例子第一个出错“0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1=1”，所以结果错误（同时大家也可以发现如果再更改一位为1，那么最终结果仍然是，这就是奇偶校验的局限性）

（2）海明校验码

海明码是一种广泛采用的有效的校验码，本质是一种多重奇偶校验码。其实现原理是在有效信息位中加入几个校验位形成海明码，并把海明码的每个二进制位分配到奇偶校验组中。当某一位出现错误后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化。它不但可以发现错误位置，还可以为自动纠错提供依据。

A：纠错理论

假设信息位为$n$，校验位为$k$，因此k个比特位一共可以映射$2^k$种状态；海明吗由信息位和校验位组成，因此共有$n+k$位，$n+k$位每一个位置都有可能出现错误，因此这$2^k$种状态要把这$n+k$种全部映射到，但是要注意其中还要包含一种全部正确的情况。

综上所述，得出下面的重要不等式

$$2^k⩾n+k+1$$

B：求解海明码

范例：求1010的海明码，具体流程如下

1：确定海明码位数

此二进制序列信息位$n=4$，根据前述不等式 ：$2^k⩾n+k+1$，可知$k$为3时不等式方可成立。

• 除了实际计算，也可以熟悉下面这张表，从而快速写出
  

为了区分信息位和校验位，我们用$D_4{D}_3{D}_2{D}_1$表示信息位（对应$1010$）；用$P_3{P}_2{P}_1$表示校验位；整个海明码序列可以表示为$H_7{H}_6{H}_5{H}_4{H}_3{H}_2{H}_1$

2：确定校验位分布

海明码中校验位不能直接放在信息位的头部和尾部。
规定：校验位$p_i$应该放在海明码$H_{2^{i-1}}$的位置，因此$P_1{P}_2{P}_3$分别对应$H_1{H}_2{H}_4$，其实也就是2进制的权值

校验位分布如下，首先放入校验位，信息位从低到高依次补全空位

海明码位置	$H_7$	$H_6$	$H_5$	$H_4$	$H_3$	$H_2$	$H_1$
分布情况	$D_4$	$D_3$	$D_2$	$P_3$	$D_1$	$P_2$	$P_1$
海明码	1	0	1		0

接下来，由于校验位为3位，因此信息位需要根据校验位分为3组，每个分组分别进行偶校验

3：求校验位的值

首先，我们需要海明码中对应位置为信息位的下标（也就是所处位置）转为二进制序列，比如上面表格中，$H_7$对饮位置为信息，其下标为$7$，对应二进制序列为111

海明码位置	$H_7$	$H_6$	$H_5$	$H_4$	$H_3$	$H_2$	$H_1$
二进制	111	110	101		011
分布情况	$D_4$	$D_3$	$D_2$	$P_3$