「ICPC World Finals 2017」色调分离 Posterize --区间dp关系递推

Posted 2021-08-17 C_YCBX Py_YYDS

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• 题目
• 题目分析
• 解题代码

题目

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题目分析

该题是需要我们按要求把给出的颜色种类用 k 种颜色进行替换，输出这种情况的最小误差值。
那么我们很快能想清楚一般情况：

1. 当 k==d 那么显然不需要更改原像素类型，误差是为 0 的。
2. 当 k==1 时，我们可以直接枚举计算出最小误差。

• 再次经过仔细斟酌，你会发现如果假设给出的颜色种类值的大小是有序排列的，那么为了使得误差最小，被替换为同一种颜色值的原像素的色调值肯定也是挨在一起的，例如原像素值为 1 25 46，需要替换为 k = 2 种像素，那么就相当于把原像素值划分区间，1和25一个区间或者25和46一个区间，因为必须保证被替换为同一种色调的原色调要尽量接近，这样才能保证误差值最小。

1. 根据以上思考，我们进行区间 dp 得出将任意 [i,j] 中所有的色调替换成同一种色调后的最小误差值。我们记录为 cost[i][j].
2. 定义 dp[i][j]:代表前 i 个红色色调强度被 j 个替换强度替换的最小值.
3. 得出 状态转移方程：dp[i][j] = min ( dp[w][j - 1] + cost[w + 1][i])其中w为需要枚举的数字，w从0枚举到i-1。类似于背包问题的遍历方式更新：

//base case：
    dp[0][0] = 0;
//其他默认为较大值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int w = 0; w < i; w++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[w][j - 1] + cost[w + 1][i]);
            }
        }
    }

解题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define maxn 257 //色素强度种类最多256种
#define INF 0x3f3f3f3f //构建默认较大值方便更新最小值
#define LL long long
using namespace std;
//快读函数
LL read() {
    LL res = 0;
    bool f = 1;
    char c;
    //先耗掉一个getchar来进行判断符号
    c = getchar();

    if (c == '-')
        f = 0;
    else
        res += (c - '0');

    while (isdigit(c = getchar())) {
        res = (LL)res * (LL)10 + (LL)(c - '0');
    }

    if (f)
        return res;

    return res * -1;
}
LL n, m, mx, r[maxn], p[maxn], cost[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
int main() {
    n = read();
    m = read();

    if (m >= n) {
        cout << 0;
        return 0;
    }

    //输入的时候顺便更新下输入的种类中red的最大取值，方便确定枚举范围
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        mx = max(mx, (r[i] = read())), p[i] = read();

    memset(cost, 0x3f, sizeof cost);

    //只更新有用的部分,其余默认为较小值方便后续更新dp
    for (int i = 0; i <= mx; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            LL w = 0;

            for (int k = j; k <= n; k++) {
                w += (r[k] - i) * (r[k] - i) * p[k];
                cost[j][k] = min(cost[j][k], w);
            }
        }
    }

    //此乃dp过程开始
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j - 1] + cost[k + 1][i]);
            }
        }
    }

    cout << f[n][m];
}