[最短路] aw3772. 更新线路(bfs最短路模型+单源最短路的扩展应用+最短路计数+aw周赛008_3)

Posted 2021-08-16 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：3772. 更新线路

相似题：aw1134. 最短路计数

2. 题目解析

图论。

有向边，边权为 1，所以可以 bfs 求最短路，最短路算法也可以直接上，spfa 在边权为 1 的情况下就是个 bfs。

需要求得每个点到终点的最短距离，建图的时候建反向边，从终点开始 bfs 最短路就行了，这样最短路部分就完成了。

初始给定了一个 path 路径，计算不在最短路径上的最大、最小改动次数。就用三角约束条件，dist[a]<dist[b]+1 说明从 a--->b 就不是一条最短路径中的子路径，一定需要重新导航。否则，加入在最短路径上，但是从 a--->b 一定存在不止一条最短路径时，依旧可以改动 a--->b 这条路径到 a--->c，依旧是条最短路径，答案并不会变差。

在反向 bfs 过程中，维护每个点的最短路径后继节点的数量。显然，除终点外每个点后继最短路节点，但有些点可能有多个，就造成了位于当前点有多条最短路的情况。在此就是最大改动数量 +1，最少改动数量不变。

本题主要理解 cnt[i] 数组，存的是第 i 个点的所有出边(后继节点中)，属于是最短路径的出边(后继节点中)个数。如果处于当前点有很多条最短路径的话，出边个数就是这些最短路径的边数。当然，至少存在一条最短路径。

---

时间复杂度：$O(n)$

空间复杂度：$O(n)$

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5+5, M = N;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];            // cnt[i] 记录 i 点的最短路后继路线的个数
int path[N];
int q[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void bfs(int start) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int hh = 0, tt = 0;
    dist[start] = 0, q[0] = start;

    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + 1) dist[j] = dist[t] + 1, cnt[j] = 1, q[ ++ tt] = j;
            else if (dist[j] == dist[t] + 1) cnt[j] ++ ;     // 多了一条最短路前驱，从 j->t 也为最短路，记录个数
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(b, a);              // 建反向边，计算每个点到终点的最短距离
    }

    int k;
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i ++ ) cin >> path[i];
    bfs(path[k - 1]);           // 从终点开始 bfs，求出每个点到终点的最短距离

    int minc = 0, maxc = 0;
    for (int i = 1; i < k; i ++ ) {
        int a = path[i - 1], b = path[i]; 
        if (dist[a] < dist[b] + 1) minc ++ , maxc ++ ;          // 不为最短路，必须重新规划路线
        else if (cnt[a] > 1) maxc ++ ;  // 如果可规划的路线不止一条，说明当前所处点的最短路不止一条，仅最大值更新即可
    }

    cout << minc << ' ' << maxc << endl;

    return 0;
}