⭐算法入门⭐《动态规划 - 线性DP》简单02 —— LeetCode 53. 最大子序和

Posted 2021-08-16 英雄哪里出来

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文章目录

• 一、题目
• • 1、题目描述
  • 2、基础框架
  • 3、原题链接
• 二、解题报告
• • 1、思路分析
  • 2、时间复杂度
  • 3、代码详解
• 三、本题小知识

一、题目

1、题目描述

  给定一个整数数组 $nums$ ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
  样例输入： $nums=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,-7]$
  样例输出： $6$， 即 $[4,-1,2,1]$。

2、基础框架

• c++ 版本给出的基础框架代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    }
};

3、原题链接

LeetCode 53. 最大子序和

二、解题报告

1、思路分析

由于要求的是连续的子数组，所以对于第 $i$ 个元素，状态转移一定是从 $i-1$ 个元素转移过来的。

• 基于这一点，可以令 $f[i]$ 表示以 $i$ 号元素结尾的最大值。
• 那么很自然，这个最大值必然包含 $nums[i]$ 这个元素，那么要不要包含 $nums[i-1],nums[i-2],nums[i-3],...,nums[k]$ 呢？其实就是看第 $i-1$ 号元素结尾的最大值是否大于零，也就是：当 $f[i-1]\le 0$ 时，则 前 $i-1$ 个元素是没必要包含进来的。所以就有状态转移方程：
• $$f[i]=\{\begin{array}{ll}nums[0]& i=0\\ nums[i]& f[i-1]\le 0\\ nums[i]+f[i-1]& f[i-1]>0\end{array}$$
• 一层循环枚举后，取 $max(f[i])$ 就是答案了。

2、时间复杂度

• 状态数：$O(n)$
• 状态转移：$O(1)$
• 时间复杂度：$O(n)$

3、代码详解

class Solution {
    int f[30010];
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int maxValue = nums[0];
        f[0] = nums[0];                          // (1)
        for(int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            f[i] = nums[i];
            if(f[i-1] > 0) {
                f[i] += f[i-1];                  // (2)
            }
            maxValue = max(maxValue, f[i]);      // (3)
        }
        return maxValue;
    }
};

• $(1)$ 初始值；
• $(2)$ 状态转移；
• $(3)$ 过程中取最大值；

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三、本题小知识

连续子数组问题，可以考虑前一个元素已经计算出来的状态进行下一个元素的求解。

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