算法-贪心算法详解

Posted 2021-08-15 lady_killer9

目录

概述

引入

钞票支付问题

解答

最优子结构

区间问题

leetcode 435 无重叠区间

解答

问题转换

leetcode 55 跳跃游戏

解答

题目

---

概述

顾名思义，贪心算法或贪心思想采用贪心的策略，保证每次操作都是局部最优的，从而使最后得到的结果是全局最优的。

引入

钞票支付问题

有1元、5元、10元、20元、100元的钞票无穷多张。现使用这些钞票支付X元，最少需要多少张?
例如，X=628

解答

按照常识，我们先使用大额的进行支付。

from typing import List


def getMinNum(moneys: List[int], X: int) -> int:
    moneys.sort(reverse=True)
    i, ans = 0, 0
    while X != 0:
        number = X // moneys[i]
        X -= moneys[i] * number
        print(moneys[i], number)
        ans += number
        i += 1
    return ans


if __name__ == '__main__':
    moneys = [1, 2, 5, 10, 20, 100]
    X = 628
    print(getMinNum(moneys, X))

100 6
20 1
10 0
5 1
2 1
1 1
10

虽然结果是对的，但是我们并没有给出证明。这里也不用数学公式证明了，简单一句话就是大的钞票可以换成小的钞票，若使用小的钞票，那么会更多，不符合题目要求。其次，最优解包含子问题的最优解，628的最优解去除1就是627的最优解。

思考一个问题，如果钞票面值添加7呢？

最优解

X	面值*数量 总数量
7	7*1 1
8	7*1+1*1 2
9	7*1+2*1 2
10	10*1 1
11	10*1 + 1*1 2
12	10*1 + 2*1 2
13	10*1 +2*1+1*1 3
14	10*1 + 2 * 2 3

相信读者看到了，若还是贪心的话，14的结果就不对了，因为14的最优解为7*2，2张即可。

最优子结构

最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。

X=14时，选7+7比选10+2+2要好。或者说，X=14时的第一个选择7，不是子问题X=13时的第一个选择10。这样先选最大的这种贪心策略就不对了。

以上，就说明了只有通过子问题的最优解能推导出问题的最优解的情况下才能使用贪心算法。

接下来看几个典型问题。

区间问题

leetcode 435 无重叠区间

给定一个区间的集合，找到需要移除区间的最小数量，使剩余区间互不重叠。

注意:

    可以认为区间的终点总是大于它的起点。
    区间 [1,2] 和 [2,3] 的边界相互“接触”，但没有相互重叠。

示例 1:

输入: [ [1,2], [2,3], [3,4], [1,3] ]

输出: 1

解释: 移除 [1,3] 后，剩下的区间没有重叠。

解答

如果已经确定了一个区间，如何确定另一附近区间呢？由于题目要要移除区间的的最小数量，我们应该选择延展最少的（贪心），这样覆盖的少。例如，我们确定了从小到大，选区了第一个区间，而有一区间的右端点比较大，若选择它，那么很多右端点小的就会和这一区间重复，导致去除了很多重复区间。因此，这里按照区间右端点从小到大排序，选择第一个区间开始，依次向后判断是否重叠，重叠则去除。

class Solution:
    def eraseOverlapIntervals(self, intervals: List[List[int]]) -> int:
        intervals.sort(key=lambda x: x[1])
        print(intervals)

        # 返回是否重叠
        def isOver(a, b):
            if b[0] < a[1]:
                return True
            return False

        start, ans = intervals[0], 0
        for cur in intervals[1:]:
            if isOver(start, cur):
                ans += 1
            else:
                start = cur
        return ans

当然，你如果选择最右边的开始也是一样的。

问题转换

leetcode 55 跳跃游戏

给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。

数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

判断你是否能够到达最后一个下标。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,1,4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。

示例 2：

输入：nums = [3,2,1,0,4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。

解答

第一时间想到的可能是每次选择最远的跳，这样可以跳的“更远”，从而达到最后。其实这样是不对的，可能你跳的“更远”的下一跳反而比其他选择的下一跳近，所以我们并不是选择跳的最远的，而是选择在可跳的范围内最终能跳的最远的。

这就是对局部最优的理解，你没有沿着你的选择跳到最后，你并不知道是不是局部最优。因此，我们维护一个当前能跳的最远位置，将所有选择的下一跳计算出来并持续更新最远位置。

跳跃过程

pos	max_pos
2	2
3	4
1	4
1	4
4	8

class Solution:
    def canJump(self,nums):
        n = len(nums)
        max_pos = 0                               # 当前最远位置
        for pos, jump in enumerate(nums):         # poi为当前位置，jump是当前位置的跳数
            if max_pos>=pos and pos+jump>max_pos: # 如果当前位置能到达，并且 当前位置+跳数>最远位置，
                max_pos = pos+jump                # 更新最远能到达位置
            # 提前结束
            if max_pos >= n - 1:
                return True
            if max_pos < pos:
                return False
        return True

当然，我们可以提前结束，让我们的程序性能更好。

大家可以练练相关题目，巩固一下。

题目

leetcode 435 无重叠区间

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leetcode 55 跳跃游戏