CodeForces - 1550E Stringforces(二分+状压dp)

Posted 2021-08-14 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的字符串，只包含前 $k$ 个小写字母以及通配符 $?$，现在可以将通配符替换成任意的前 $k$ 个字母中的一个。设 $f[i]$ 为第 $i$ 个字母在字符串中，最长的连续子段的长度，现在要求所有 $f[i]$ 中最小值的最大值

题目分析：读完题一下子根据复杂度把正解分析出来了，可是怎么也没办法往 $dp$ 上去靠。因为 $k\le 17$，又因为 $2^{17}\approx 2e5$，所以不难想到二分+状压dp，时间复杂度刚好是 $nlo{g}^{2}n$ 的

这个题更像是缝合怪，里面的模型之前都做过类似的题目，但是结合起来就不会分析了，可以参考：

CodeForces - 1303E

中石油训练赛 - Watch Later

看完上面两个题再回过头来看这个题，可能会简单很多。

首先题目要求最小值的最大值，不难想到二分，这个题的重点是如何去 $check$。

因为通过复杂度分析出来是状压dp了，我个人对状压dp的理解是，状压dp就是全排列问题的一种优化，所以状压dp可以解决的问题，全排列暴力枚举肯定也是可以解决的。所以先将问题简化，如果本题放开全排列，该如何去做呢？

全排列的本质是确定了 $n$ 的物品的一种顺序，在 $check$ 函数中确定了顺序后，该怎么去做呢。这里需要想到的一个点是，我们确定下来的这个顺序，应该转换为在字符串中的顺序。举个例子，假设二分的长度为 $len=4$，$k=3$，也就是说 “aaaa”,“bbbb”,“cccc” 这三个字符串应该作为子串出现在原串中，而我们确定的顺序，就是从头开始遍历字符串，依次匹配到的顺序。更具体的说，假如我们全排列枚举的顺序是 $3,1,2$，那么在原串中，应该先出现 “cccc”，再出现 “aaaa”，最后再出现 “bbbb”

所以对于某个全排列确定的顺序来说，我们贪心去匹配一定是最优的，可以想象有一个 $end$ 指针一直在原串中后移，最后 $check=true$ 的条件一定是 $end$ 指针仍然在原串中

这个顺序有什么用呢？类比于上面第一个题目的模型 CodeForces - 1303E，不难设计出状压dp的状态了：$dp[i]$ 代表的是，满足状态 $i$ 下，$end$ 指针的最小值，如果 $dp[(1<<k)-1]$ 代表的位置仍在原串中，说明 $check=true$

转移的话预处理一个序列自动机辅助转移就可以了

其实这个题是一道不算难的题目，真的就是很多经典模型拼凑起来的，感觉自己分析题目的能力还是欠缺很多

代码：

// Problem: E. Stringforces
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 111 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1550/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
char s[N];
int n,k,nt[N][17],dp[(1<<17)+100];
bool check(int len) {
	for(int i=0;i<17;i++) {
		nt[n+2][i]=nt[n+1][i]=n+2;
	}
	for(int c=0;c<k;c++) {
		int l=0;
		for(int i=n;i>=1;i--) {
			if(s[i]=='?'||s[i]-'a'==c) {
				l++;
			} else {
				l=0;
			}
			if(l>=len) {
				nt[i][c]=i+len;
			} else {
				nt[i][c]=nt[i+1][c];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<1<<k;i++) {
		dp[i]=n+2;
	}
	dp[0]=1;
	for(int i=0;i<1<<k;i++) {
		for(int j=0;j<k;j++) {
			if(((i>>j)&1)==0) {
				dp[i^(1<<j)]=min(dp[i^(1<<j)],nt[dp[i]][j]);
			}
		}
	}
	return dp[(1<<k)-1]<=n+1;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	read(n),read(k);
	scanf("%s",s+1);
	int l=0,r=n,ans=-1;
	while(l<=r) {
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) {
			ans=mid;
			l=mid+1;
		} else {
			r=mid-1;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}