[PTA]7-18 二分法求多项式单根

Posted 2021-08-14 Spring-_-Bear

二分法求函数根的原理为：如果连续函数f(x)在区间[a,b]的两个端点取值异号，即f(a)f(b)<0，则它在这个区间内至少存在1个根r，即 f( r )=0。

二分法的步骤为：

• 检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点(a+b)/2；否则
  如果f(a)f(b)<0，则计算中点的值f((a+b)/2)；
• 如果f((a+b)/2)正好为0，则(a+b)/2就是要求的根；否则
• 如果f((a+b)/2)与f(a)同号，则说明根在区间[(a+b)/2,b]，令a=(a+b)/2，重复循环；
• 如果f((a+b)/2)与f(b)同号，则说明根在区间[a,(a+b)/2]，令b=(a+b)/2，重复循环。

本题目要求编写程序，计算给定3阶多项式f(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀在给定区间[a,b]内的根。
输入格式：

输入在第1行中顺序给出多项式的4个系数a~3~,a~2~,a~1~,a~0~，在第2行中顺序给出区间端点a和b。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

输出格式：

在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后2位。

输入样例：

3 -1 -3 1
-0.5 0.5

输出样例：

0.33

• 提交结果：

• 源码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define ACCURACY 0.0001
int main()
{
    double a3, a2, a1, a0;
    double a, b, mid;

    scanf("%lf%lf%lf%lf", &a3, &a2, &a1, &a0);
    scanf("%lf%lf", &a, &b);

    /* 若区间长度小于给定阈值，直接输出区间中点，不进入while循环 */
    mid = (a + b) / 2;

    while (fabs(a - b) >= ACCURACY)
    {
        /* 区间中点恰好是根 */
        if ((a3 * pow(mid, 3) + a2 * pow(mid, 2) + a1 * mid + a0) == 0)
        {
            break;
        }

        /* 根在前半区间 */
        if ((a3 * pow(a, 3) + a2 * pow(a, 2) + a1 * a + a0) * (a3 * pow(mid, 3) + a2 * pow(mid, 2) + a1 * mid + a0) < 0)
        {
            b = mid;
        }
        else     // 根在后半区间
        {
            a = mid;
        }

        mid = (a + b) / 2;

    }

    printf("%.2f\\n", mid);

    return 0;
}