隔板法（插板法）

Posted 2021-08-13 H-w-H

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• 理解隔板法
• • 【定义】
  • 【公式】
  • 【隔板应用】
  • • 普通隔板法
    • 添元素隔板法
    • 添板插板法
    • 选板法
    • 分类插板
    • 逐步插板法

理解隔板法

【定义】

隔板法就是在$n$个元素间的$（n-1）$个空中插入$k$个板，可以把$n$个元素分成$k+1$组的方法。

应用隔板法必须满足3个条件： 　　
（1） 这$n$个元素必须互不相异；
（2） 所分成的每一组至少分得1个元素；
（3） 分成的组别彼此相异。

【公式】

把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

$C_{n-1}^{m-1}=C_9^2$

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接下来才是重点。

【隔板应用】

普通隔板法

例1. 求方程 $x+y+z=10$的正整数解的个数。

分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为$C_{n-1}^{m-1}=C_9^2=36$（个）。

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添元素隔板法

例2. 求方程$ x+y+z=10$的非负整数解的个数。

分析：注意到$x、y、z$可以为零，故例1解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给$x、y、z$各添加一个球，这样原问题就转化为求 $x+y+z=13$的正整数解的个数了，则问题就等价于把$13$个相同小球放入$3$个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？易得解的个数为$C_{n+m-1}^{m-1}=C_{12}^2=66$（个）。

例3： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ $C_8^2=28$

例4. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。（减少球数用隔板法）

分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有$C_{13}^3=286$（种）。

例5：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为$ab$
显然$a+b<=9$ ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1代表9个1，-代表8个空位
我们要把9个1分成两组，但$b$可以为0，我们先给$b$一个1，然后就相当于10个小球放入两个$（a，b）$不同的箱子，每一个箱子至少放一个，$C_9^1$，但这是错误的，为什么？因为1不一定要全部放入。其实解决这个问题可以这么想，我们在引进一个盒子$c$来放$ab$取完剩下的1，所以报证$c$中球数大于0，所以要在增加一个球，题目就等价于，11个小球放入两个$（a，b）$不同的箱子，每一个箱子至少放一个，所以一共有 $c_{10}^2=45$ .

添板插板法

例5另一种解法：

显然$a+b<=9$ ,且$a$不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位 （第一个没有因为$a$不能为0），我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到$a$个1，第二组取到$b$个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 $c_{10}^2=45$

添板插板法就是添元素隔板法的变形。

选板法

例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o – o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 $2^9=512$啦

分类插板

例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ $C_{10}^1=10$
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? $C_8^2=28$
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？$C_6^3=20$
所以一共是 2+10+28+20=60 种

逐步插板法

例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - 三个节目$abc$
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 $C_7^1{C}_8^1{C}_9^1=504$种