Fireworks(2020 ICPC南京)

Posted 2021-08-13 Jozky86

Fireworks

题意：

你每做一个烟花要n分钟，释放已做好的所有烟花需要m分钟，每只烟花成功释放的概率为p。问你在采取最优策略的前提下，直到成功释放第一个烟花时最小的期望时间花费。

题解：

最佳策略是：每次集中做法，然后集中释放。所以我们设每制作k个烟花后集中释放一次，直到某次释放时成功出现一次为止。求当前期望时间花费，这是一个典型的几何分布
每轮的时间开销为：T = k * n + m，每轮至少成功释放烟花的概率为P，P怎么求？一次都不成功的概率为(1 - p)^k,那么P=1-(1-p)^k,根据几何分布公式期望为E = 1/P，乘以每轮开销的期望时间花费为T * E
这是一个单峰的凹函数，通过三分找答案

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(a,b) printf("%s = %d\\n",a,b);
typedef long long ll;
using namespace std;

inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();//s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48);
   return s*w;
}
long double fun(int k,int n,int m,long double p){
	return ((long double)k*n+m)/((long double)1.0-pow(1.0-p,k));
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int n,m;
		double p;
		cin>>n>>m>>p;
		p*=(1e-4);
		int l=1,r=0x3f3f3f3f;
		while(l<r){
			int mid1=l+(r-l)/3;
			int mid2=r-(r-l)/3;
			if(fun(mid1,n,m,p)<fun(mid2,n,m,p))r=mid2-1;
			else l=mid1+1;
		}
		printf("%.10Lf\\n",fun(l,n,m,p));
	}
}