CodeForces - 1543D2 RPD and Rap Sheet (Hard Version)(交互+模拟)

Posted 2021-08-11 Frozen_Guardian

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题目大意：交互题猜密码，设原密码为 $x$，猜的密码为 $y$，如果没猜到，密码会自适应变成 $z$，满足 $x\oplus z=y$ ，最多猜 $n$ 次，对于本题而言，所有数字是在 $k$ 进制下进行的

题目分析：相对于 $easy$ 版本而言，当异或推广到 $k$ 进制时，就不存在自反性了，所以本题还是要稍微推一下公式找找共性

这里的异或就不能称之为异或了，下文中，$\oplus$ 将视为 “k进制不进位加法”，同样对应一个 $\ominus$ 为 “k进制不退位减法”，意义为名称所述。本题中的异或其实就是“k进制不进位加法”，需要提前知道的是，这两个运算同样具有基本运算的交换律和结合律的性质。

开始推公式，假设原答案为 $x$，猜的密码为 $y$，新密码为 $z$，因为满足 $x\oplus z=y$，两侧同时“不进位减去x”，得到 $z=y\ominus x$

假设第 $i$ 次询问的值为 $q_i$，密码为 $password$，第一次询问后，原密码变成了 $q_1\ominus password$；第 $k$ 次询问后，原密码变成了 $q_k\ominus (q_{k-1}\ominus ...(q_2\ominus (q_1\ominus password)))$，这里还是令 $q_1=0$

所以假如我们第 $i$ 次猜，想要猜原密码是否和 $x$ 相等，也就是 $password==x$ 是否成立，就必须令 $q_i=q_{i-1}\ominus (q_{i-2}\ominus ...(q_2\ominus (q_1\ominus x)))$

现在问题是如何快速求出 $q_i$。根据结合律，不难将 $x$ 单独拿出来，然后整个式子就变成了：$q_i=q_{i-1}\ominus (q_{i-2}\ominus ...(q_2\ominus q_1))opx$，这里的 $op$ 代表的是一个符号，这里先按下不表。不难看出 $op$ 前面的部分可以线性维护得到。而后面单独拆出来的 $x$，因为遇到减法拆括号时需要变号，“不进位减法” 在这里也是同理，所以当询问的下标为奇数时，$op$ 为 $\ominus$，当询问的下标为偶数时，$op$ 为 $\oplus$

然后自己模拟一下 $\oplus$ 和 $\ominus$ 这两个运算就可以了，按照上面的理论，将 $n$ 个数字都枚举一遍， 时间复杂度是 $O(nlo{g}_{k}n)$ 的

代码：

// Problem: D2. RPD and Rap Sheet (Hard Version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #730 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1543/problem/D2
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 5000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int k;
int add(int a,int b) {
	int ans=0,base=1;
	while(a||b) {
		int tmp=(a%k+b%k)%k;
		ans+=tmp*base;
		base*=k;
		a/=k,b/=k;
	}
	return ans;
}
int sub(int a,int b) {
	int ans=0,base=1;
	while(a||b) {
		int tmp=(a%k-b%k+k)%k;
		ans+=tmp*base;
		base*=k;
		a/=k,b/=k;
	}
	return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n,sum=0;
		read(n),read(k);
		for(int i=0;i<n;i++) {
			int cur=1;
			if(i==0) {
				cur=0;
			} else if(i&1) {
				cur=sub(sum,i);
			} else {
				cur=add(sum,i);
			}
			printf("%d\\n",cur);
			fflush(stdout);
			int ans;
			scanf("%d",&ans);
			if(ans==1) {
				break;
			} else {
				sum=sub(cur,sum);
			}
		}
	}
    return 0;
}