CodeForces - 1481E Sorting Books(贪心+dp)

Posted 2021-08-11 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列，每次操作可以将任意一本书放到序列的末尾，问最少需要操作多少次，才能使得相同的数字挨在一起

题目分析：不难看出，对每个位置的数都操作一次，是肯定能满足条件的，现在我们的目标是如何求得最优解

我们需要先转换一下模型，题目要求操作最少，我们可以转换为求哪些位置是不需要移动的。这样将剩下的位置按照一定次序进行操作，一定是可以达到目标的

对于某个数字 $x$ 而言，设 $l[x]$ 和 $r[x]$ 分别为 $x$ 在原序列中第一次和最后一次出现的位置，同时 $cnt[x]$ 是 $x$ 在整个序列出现的次数。假如 $x$ 不需要移动的话，那么 $[l[x],r[x]]$ 这个区间内对 $dp$ （哪些位置不需要移动）可以提供 $cnt[x]$ 的贡献

不难看出，经过一系列迭代后，可以同时做出贡献的区间，必须是互不相交的，这一点是比较显然的

所以我们可以参考区间覆盖类 $dp$ 的转移框架：$dp[i]=dp[j]+[j,i]区间的贡献$

分析到此为止，本题其实就是一个中规中矩的 $dp$ 而已，下面我想加入点自己的理解

如果继续下去，$dp$ 的状态意义为，哪些位置是不需要移动的位置，那么我们必须限制递推是倒着来的，也就是 $dp[i]$ 代表的是，区间 $[i,n]$ 中，最多有多少个位置是不需要移动的

为什么要倒着来呢？因为本题的操作是需要将数字扔到序列的末尾，$dp[i]$ 可以初始化为，$[i,n]$ 中有多少个 $a[i]$，这样初始化是很简单且可行的，可行性自己思考一下就能想明白了。但是与之相对的，如果 $dp[i]$ 的递推是正向进行的，那就无法这样初始化了，所以递推下去相对困难

所以可以正着来吗？答案是肯定的，只不过需要对 $dp$ 状态换个意义了，$dp[i]$ 代表的是 $[1,i]$ 中，每个数字所在的范围互不相交可以取到的最多的数字。如果想要求解上述的 “最多有多少个位置是不需要移动的”，还需要做进一步的转换，那就是需要求出区间 $[i+1,n]$ 中，出现次数最多的数字。因为根据贪心来想，我们如果想要让 $dp[i]$ 前面的部分作出贡献，就必须在 $[i+1,n]$ 这段区间中固定下来一个 “不需要移动的数字” 才行。

其实也比较好理解，根据区间不相交的特点，$dp[i]$ 已经求出了 $[1,i]$ 中不需要移动的数字了，而我们还需要求出 $[i+1,n]$ 中不需要移动的数字，贪心去想，显然是令出现次数最多的数字不动是最优的

代码：
倒着的

// Problem: E. Sorting Books
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #699 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1481/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int a[N],dp[N],l[N],r[N],cnt[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
		r[a[i]]=i;
		if(l[a[i]]==0) {
			l[a[i]]=i;
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		dp[i]=dp[i+1];
		cnt[a[i]]++;
		if(i==l[a[i]]) {
			dp[i]=max(dp[i],dp[r[a[i]]+1]+cnt[a[i]]);
		} else {
			dp[i]=max(dp[i],cnt[a[i]]);
		}
	}
	cout<<n-dp[1]<<endl;
    return 0;
}

正着的：

// Problem: E. Sorting Books
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #699 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1481/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int a[N],dp[N],l[N],r[N],cnt[N],mmax[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
		r[a[i]]=i;
		if(l[a[i]]==0) {
			l[a[i]]=i;
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		cnt[a[i]]++;
		mmax[i]=max(mmax[i+1],cnt[a[i]]);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		dp[i]=dp[i-1];
		if(i==r[a[i]]) {
			dp[i]=max(dp[i],dp[l[a[i]]-1]+cnt[a[i]]);
		}
		ans=max(ans,dp[i]+mmax[i+1]);
	}
	cout<<n-ans<<endl;
    return 0;
}