AcWing - 246. 区间最大公约数(树状数组+线段树)

Posted 2021-08-11 Frozen_Guardian

题目链接：点击查看

题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列，需要执行 $m$ 次操作，每次操作分为下列两种类型：

1. C l r d：将区间 $[l,r]$ 位置的数字都加上 $d$
2. Q l r：询问区间 $[l,r]$ 的最大公约数

题目分析：首先是推广一下最大公约数的公式：

• $gcd(a,b)=gcd(a,b-a)$
• $gcd(a,b,c)=gcd(a,b-a,c-b)$
• $gcd(a_1,a_2,...a_n)=gcd(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})$

如此一来我们可以同时维护一下原数组以及差分数组，设 $b_i=a_i-a_{i-1}$，对于每次修改而言，差分数组是单点修改，而原数组是区间修改。对于每次查询而言，差分数组是区间查询，原数组是单点查询。

最后说一下改如何查询，对于 $[l,r]$ 的查询，我们只需要输出 $gcd(a[l],b[l+1],...,b[r])$ 就是答案了

代码：

// Problem: 区间最大公约数
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/247/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
LL c[N],a[N];
int n,m;
struct Node {
	int l,r;
	LL sum;
}tree[N<<2];
void pushup(int k) {
	tree[k].sum=__gcd(tree[k<<1].sum,tree[k<<1|1].sum);
}
void build(int k,int l,int r) {
	tree[k]={l,r};
	if(l==r) {
		tree[k].sum=a[l]-a[l-1];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	pushup(k);
}
void update(int k,int pos,LL val) {
	if(pos>n) {
		return;
	}
	if(tree[k].l==tree[k].r) {
		tree[k].sum+=val;
		return;
	}
	int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
	if(pos<=mid) {
		update(k<<1,pos,val);
	} else {
		update(k<<1|1,pos,val);
	}
	pushup(k);
}
LL query(int k,int l,int r) {
	if(tree[k].l>r||tree[k].r<l) {
		return 0;
	}
	if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r) {
		return tree[k].sum;
	}
	return __gcd(query(k<<1,l,r),query(k<<1|1,l,r));
}
void add(LL x,LL val) {
	for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i)) {
		c[i]+=val;
	}
}
LL ask(LL x) {
	LL ans=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) {
		ans+=c[i];
	}
	return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
	}
	build(1,1,n);
	while(m--) {
		char op[5];
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='Q') {
			int l,r;
			read(l),read(r);
			printf("%lld\\n",__gcd(a[l]+ask(l),abs(query(1,l+1,r))));
		} else if(op[0]=='C') {
			int l,r;
			LL val;
			read(l),read(r),read(val);
			add(l,val),add(r+1,-val);
			update(1,l,val),update(1,r+1,-val);
		}
	}
    return 0;
}