光天化日学C语言（23）- 整数的存储 | 补码到底有什么用？
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了光天化日学C语言（23）- 整数的存储 | 补码到底有什么用？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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文章目录
一、前言
本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。这个系列文章主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
这一章的主要内容是整数的存储。
二、人物简介
- 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
- 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
三、整数简介
1、符号位 和 数值位
- 我们知道 整数 分为 有符号整型 和 无符号整型。
- 有符号整型，程序需要区分 符号位 和 数值位。
- 对我们人类来说，很容易分辨；而对计算机而言，就要设计专门的电路，这就增加了硬件的复杂性，从而增加了计算的时间。
所以，如果能够将 符号位 和 数值位 联合起来，让它们共同参与运算，不再加以区分，这样硬件电路就会变得更加简单。
2、整型的加减运算
- 其次，加法 和 减法 的引入，也将问题变得复杂。而由于减去一个数相当于加上这个数的相反数，例如：
1 - 2等价于1 + (-2)，1 - (-2)等价于1 + 2。
所以，它们可以合并为一种运算，即只保留加法运算。
- 相反数是指 数值位 相同，符号位 不同的两个数，例如，1 和 -1 就是一对相反数。
- 所以，我们需要做的就是设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路，就能同时实现加法和减法运算。首先让我们看几个计算机中的概念。
四、机器数和真值
1、机器数
- 我们知道计算机是内部由 0 和 1 组成的编码，无论是整数还是浮点数，都会涉及到负数，对于机器来说是不知道正负的，而 “正” 和 “负” 正好是两种对立的状态，所以规定用 “0” 表示 “正”，“1” 表示 “负”，这样符号就被数字化了，并且将它放在有效数字的前面，就成了有符号数；
- 把符号 “数字化” 的数称为 机器数；
2、真值
- 而带有 “+” 或者 “-” 的数称为 真值；
- 然而，当符号位和数值部分放在一起后，如何让它一起参与运算呢？那就要涉及到接下来要讲的计算机的各种编码了。
五、计算机编码
1、原码
1）定义
- 这里的原码并不是源码（源代码）的意思，而是机器数中最简单的一种表示形式；为了快速理解，这里只介绍 32位整数；
【定义】 符号位 为 0 代表 正数，符号位 为 1 代表 负数，数值位 为 真值的绝对值。
2）举例
- 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 原码 关系如下：
真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
原码： 00000000 00000000 00000000 00100101
- 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 原码 的关系如下：
真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
原码： 10000000 00000000 00000000 00100101
- 我们发现，对于负数的情况，原码 加上 真值（注意，这里真值为负数）后，二进制数正好等于 1 ( 0...0 ⏟ 31 ) 2 1(\\underbrace{0...0}_{31})_2 1(31 0...0)2， 即 2 31 2^{31} 231，表示成公式如下： [ x ] 原 + x = 2 31 [x]_原 + x = 2^{31} [x]原+x=231
3）公式
- 因此，我们可以通过移项，得出原码的十进制计算公式如下：
[ x ] 原 = { x ( 0 ≤ x < 2 n − 1 ) 2 n − 1 − x ( − 2 n − 1 < x ≤ 0 ) [x]_原 = \\begin{cases} x & (0 \\le x < 2^{n-1})\\\\ 2^{n-1} - x & (-2^{n-1} < x \\le 0) \\end{cases} [x]原={x2n−1−x(0≤x<2n−1)(−2n−1<x≤0) 这里 x x x 代表真值，而 n n n 的取值是 8 、 16 、 32 、 64 8、16、32、64 8、16、32、64，我们通常说的整型
int都是 32位 的，本文就以 n = 32 n = 32 n=32 的情况进行阐述；
- 原码是最贴近人类的编码方式，并且很容易和真值进行转换，但是让计算机用原码进行加减运算过于繁琐，如果两个数符号位不同，需要先判断绝对值大小，然后用绝对值大的减去绝对值小的，并且符号以绝对值大的数为准，本来是加法却需要用减法来实现。
2、反码
1）定义
【定义】 正数 的 反码 就是它的 原码；负数 的 反码 为 原码 的每一位的 0变1、1变0（即位运算中的按位取反）；
2）举例
- 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 反码 关系如下：
真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
反码： 00000000 00000000 00000000 00100101
- 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 反码 的关系如下：
真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
反码： 11111111 11111111 11111111 11011010
- 我们发现，对于负数的情况，反码 减去 真值（注意，这里真值为负数）后，负负得正，转换成二进制位相加正好等于 ( 1...1 ⏟ 32 ) 2 (\\underbrace{1...1}_{32})_2 (32 1...1)2， 即 2 32 − 1 2^{32}-1 232−1，表示成公式如下： [ x ] 反 − x = 2 32 − 1 [x]_反 - x = 2^{32}-1 [x]反−x=232−1
3）公式
- 因此，通过移项，我们可以得出反码的十进制计算公式如下：
[ x ] 反 = { x ( 0 ≤ x < 2 n − 1 ) 2 n − 1 + x ( − 2 n − 1 < x ≤ 0 ) [x]_反 = \\begin{cases} x & (0 \\le x < 2^{n-1})\\\\ 2^{n}-1 + x & (-2^{n-1} < x \\le 0) \\end{cases} [x]反={x2n−1+x(0≤x<2n−1)(−2n−1<x≤0) 这里 x x x 代表真值，而 n n n 的取值是 8 、 16 、 32 、 64 8、16、32、64 8、16、32、64，我们通常说的整型
int都是 32位 的，本文就以 n = 32 n = 32 n=32 的情况进行阐述；
- 反码有个很难受的点，就是 ( 0 0...0 ⏟ 31 ) 2 (0\\underbrace{0...0}_{31})_2 (031 0...0)2 和 ( 1 0...0 ⏟ 31 ) 2 (1\\underbrace{0...0}_{31})_2 (131 0...0)2 都代表零，就是我们常说的 正零 和 负零。正如公式中看到的，当真值为 0 的时候，有两种情况，这就产生了二义性，而且浪费了一个整数表示形式。
3、补码
1）定义
【定义】 正数 的 补码 就是它的 原码；负数 的 补码 为 它的反码加一；
2）举例
- 1）对于十进制数 37，它的 真值 和 补码 关系如下：
真值：+ 00000000 00000000 00000000 00100101
补码： 00000000 00000000 00000000 00100101
- 2）对于十进制数 -37，它的 真值 和 反码 的关系如下：
真值：- 00000000 00000000 00000000 00100101
补码： 11111111 11111111 11111111 11011011
- 我们发现，对于负数的情况，反码 减去 真值（注意，这里真值为负数）后，负负得正，转换成二进制位相加正好等于 1 ( 0...0 ⏟ 32 ) 2 1(\\underbrace{0...0}_{32})_2 1(32 0...0)2， 即 2 32 2^{32} 232，表示成公式如下： [ x ] 补 − x = 2 32 [x]_补 - x = 2^{32} [x]补−x=232
3）公式
- 因此，通过移项，我们可以得出补码的十进制计算公式如下：
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