量子计算求解函数因子：Bernstein-Vazirani Algorithm

Posted 2023-02-26 元之田

问题：对于函数，
$$f(x_0,x_1,x_2,...)\to 0\text{ or }1\text{ where }{x}_n\text{ is }0\text{ or }1$$
该函数的形式为$f(x)=s\cdot x\text{(mod 2)}$，给定x，得到f(x)，求s的值。

该算法步骤：

1. 初始化 |0⟩⊗n state, and output qubit
   to |−⟩ .
2. 对Input寄存器进行Hardmard变化。
3. 对Output进行measure。

对于Hardmard变换，有普遍规律：
$$|a⟩\stackrel{H^{\otimes n}}{\to }\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{x\in 0,1{}^n}(-1{)}^{a\cdot x}|x⟩.$$

我们对 $|00\dots 0⟩$ 使用n Hadamard gates得到量子叠加态:

$$|00\dots 0⟩\stackrel{H^{\otimes n}}{\to }\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{x\in 0,1{}^n}|x⟩$$

$(-1{)}^{a\cdot x}=0$ , since $a=0,$ and thus $(-1{)}^{a\cdot x}=1$.

之后，我们作用$f_s$函数。这里我们的ouput初始状态a为$|-⟩$.

• 若f(x) = 1，$|a\oplus f(x)⟩=-|-⟩$
• 若f(x) = 0，$|a\oplus f(x)⟩=|-⟩$

$$|x⟩\stackrel{f_s}{\to }(-1{)}^{s\cdot x}|x⟩$$

$$|00\dots 0⟩\stackrel{H^{\otimes n}}{\to }\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{x\in 0,1{}^n}|x⟩\stackrel{f_a}{\to }\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{x\in 0,1{}^n}(-1{)}^{a\cdot x}|x⟩$$

由于量子计算是可逆的，我们再使用Hardmard Gate便可以得到a。

$$\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{x\in 0,1{}^n}(-1{)}^{a\cdot x}|x⟩\stackrel{H^{\otimes n}}{\to }|a⟩$$

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Coding

# initialization
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# importing Qiskit
from qiskit import IBMQ, Aer
from qiskit.providers.ibmq import least_busy
from qiskit import QuantumCircuit, ClassicalRegister, QuantumRegister, transpile, assemble

# import basic plot tools
from qiskit.visualization import plot_histogram

n = 3 # number of qubits used to represent s
s = '011'   # the hidden binary string

# We need a circuit with n qubits, plus one auxiliary qubit
# Also need n classical bits to write the output to
bv_circuit = QuantumCircuit(n+1, n)

# put auxiliary in state |->
bv_circuit.h(n)
bv_circuit.z(n)

# Apply Hadamard gates before querying the oracle
for i in range(n):
    bv_circuit.h(i)
    
# Apply barrier 
bv_circuit.barrier()

# Apply the inner-product oracle
s = s[::-1] # reverse s to fit qiskit's qubit ordering
for q in range(n):
    if s[q] == '0':
        bv_circuit.i(q)
    else:
        bv_circuit.cx(q, n)
        
# Apply
以上是关于量子计算求解函数因子：Bernstein-Vazirani Algorithm的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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