为什么整数集合使用Z来表示？

Posted 2021-08-09 卓晴

简 介： 讨论了一个有趣的问题：数学上不同数域的字母表示的来历，特别是对于整数使用Z这个奇怪的Z表示来历进行说明。

关键词： 数域，集合

 

§01 整数集合

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  今天早上学习了一下 李永乐老师是如何讲解最美数学公式：欧拉恒等式 的，欣赏一下独特的李氏讲解风格如何呈现此数学上的重要恒等式背后的原理。

  一开始，李老师需要数域的拓展开始讲起，从自然数（Natural Number）开始，历经整数（Integers）、有理数（Rational Numers）、实数（Real Numers），直到给出复数（Complex Numbers）集合的定义。在听讲的时候，突然产生一个疑问：为什么通常情况下整数集合使用Z来表示？ 这难道与汉字中的整（zhěng）数读音有关系？

  在 ASKINGLOT网站中 Why integer is denoted by Z? 给出了解释。原来用于表示整数的Z来自于德语单词 Zahl [tsa:l]，它表示数字也就是所有数字集合。在德语中表示整型数域的单词对应 ganze Zahlen 。在将Zahl翻译成英语的时候，则被人们用作专指整型数字（Integers）。

  能够表示成两个整数比值的数字为有理数（Ratinal Numbers），在数学中通常使用Q来表示。它是英语单词 Quotients 的首字母，Quotient是指数学上的 商，即两个整数的比值。

 

§02 数域集合

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  数学上的不同数域包括：

  1. 自然数 （Natural Numvers）：

  自然数集合通常使用 N 来表示：

N = { 1 , 2 , 3 , 4 , ⋯ } N = \\left\\{ {1,2,3,4, \\cdots } \\right\\} N={1,2,3,4,⋯}

  2. 整数 (Integers)：

  整数集合同时使用 Z 来表示：

Z = { ⋯   , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ } Z = \\left\\{ { \\cdots , - 3, - 2, - 1,0,1,2,3, \\cdots } \\right\\} Z={⋯,−3,−2,−1,0,1,2,3,⋯}

  在数学上，有的时候将非负整数称为全体数字（Whole Numbers），使用 W 来表示：
W = { 0 } ∪ N W = \\left\\{ 0 \\right\\} \\cup N W={0}∪N

  3. 有理数 （Rational Numbers） :

  有理数即可以表示成两个整数比值的数字，通常使用 Q 来表示。有理数的小数形式的展开具有有限小数部分，或者无限循环小数部分。

$$\frac{4}{7},30=\frac{30}{1},\frac{1}{4}=0.25\overline{0},\frac{42}{99}=0.424242\cdots =0.\overline{42}$$

  4. 无理数 （Irrational Numbers）:
  无理数无法表示成两个整数的比值，使用小数表示的时候，它具有无限不循环的小数部分。无理数集合使用 I 来表示。

$$\pi =3.1415926\cdots ,\sqrt{2}=1.41421356\cdots ,e=2.7182812\cdots$$

  5. 实数 （Real Numbers）：

  前面定义的数字共同组成实数集合，通常使用 R 来表示，它可以与实数坐标轴上的点一一对应。

  6. 虚数 （Imaginary Numbers）：

  可以表示成一个实数乘以虚数单位 i，虚数单位 i 是 -1的一个平方根，即 $i^2=-1$。

  7. 复数 （Complex Numbers）：

  复数可以由一个实数（实部）加上一个虚数（虚部）组成，通常使用 C 表示复数集合。可以看到 实数 和虚数（有的时候称为纯虚数）是复数的子集。复数可以表示成 $a+b\cdot i$的形式，其中$a,b$是实数。

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■ 相关文献链接:

• 李永乐老师是如何讲解最美数学公式：欧拉恒等式
• Why integer is denoted by Z?