The 15th Chinese Northeast Collegiate C. Vertex Deletion(树形dp)

Posted 2021-08-09 issue是fw

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对于节点$u$来说(分别对应状态$0,1,2$)

定义$f[i][0/1/2]$表示当$i$分别满足以下三个条件时,子树内节点全部符合要求时的答案

Ⅰ.如果删去这个节点,那么$u$一定满足条件

Ⅱ.如果不删去$u$,且所有儿子被删掉.那么此时$u$还没满足条件,需要父亲也不被删去

Ⅲ.如果不删去$u$,且所有儿子中至少有一个没删掉.那么$u$满足条件,父亲怎样无所谓

可以发现这个设计非常合理,比如

$f[u][0]=\prod _{v\in so{n}_u}f[v][0]+f[v][2]$

$f[u][1]=\prod _{v\in so{n}_u}f[v][0]$

但是发现转移$f[u][2]$时有点变化,我们可以采用容斥的办法

也就是所有方案数-不合法的方案数,即为

$f[u][2]=\prod _{v\in so{n}_u}(f[v][0]+f[v][1]+f[v][2])-\prod _{v\in so{n}_u}f[v][0]$

显然$f[root][0]+f[root][2]$即是答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1e5+10; 
int n,f[maxn][3];
vector<int>vec[maxn];
/*
f[i][0]表示自己被删掉
f[i][1]表示自己没删去,且没有儿子和自己相连
f[i][2]表示自己没删去,且至少有一个儿子和自己相连 
*/ 
void dfs(int u,int fa)
{
	f[u][0] = f[u][1] = f[u][2] = 1;
	for(auto v:vec[u] )
	{
		if( v==fa )	continue;
		dfs( v,u );
		f[u][0] = ( f[v][0]+f[v][2] )%mod*f[u][0]%mod;
		f[u][1] = f[u][1]*f[v][0]%mod;
		f[u][2] = ( f[v][0]+f[v][1]+f[v][2] )%mod*f[u][2]%mod; 
	}
	f[u][2] = ( f[u][2]-f[u][1] )%mod;
	//f[u][2]为总方案数-所有儿子都被删去的方案数 
}
signed main()
{
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n;
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int l,r; scanf("%lld%lld",&l,&r);
			vec[l].push_back( r ), vec[r].push_back( l );	
		}	
		dfs( 1,0 );
		cout << (( f[1][0]+f[1][2] )%mod+mod)%mod << endl;
		for(int i=1;i<=n;i++)	vec[i].clear();
	}	
}