夜深人静写算法（三十八）- 整数分块

Posted 2021-08-09 英雄哪里出来

🙉饭不食，水不饮，题必须刷🙉
还不会C语言，和我一起打卡！ 🌞《光天化日学C语言》🌞
LeetCode 太难？上简单题！ 🧡《C语言入门100例》🧡
LeetCode 太简单？大神盘他！ 🌌《夜深人静写算法》🌌

文章目录

• 一、前言
• 二、整数分块
• • 1、引例
  • 2、引理
• 三、整数分块的性质
• • 1、单调性
  • 2、连续性
  • 3、连续区间
• 四、整数分块的应用
• • 1、原始分块
  • 2、前缀和分块
  • 3、模和分块
• 五、整数分块相关题集整理

一、前言

  字节大小周取消了！突然感觉很空虚，所以反手就学了个算法。
  这个算法的内容比较独立，虽然把它归到数论一栏，但是有一些简单的高中数学基础也能看懂。利用的是整数除法的性质，将一个 $O(n)$ 的算法优化成 $O(\sqrt{n})$，听起来是不是挺有意思的，开整！

二、整数分块

1、引例

【例题1】给定 $1\le n,k\le 10^9$，求 $$\sum _{x=1}^n\lfloor \frac{k}{x}\rfloor$$ 其中 $\lfloor x\rfloor$ 是指实数 $x$ 的整数部分。

• 我们可以直接根据题意，写出一个循环语句，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, k;
    while(scanf("%d %d", &n, &k) != EOF) {
        int ans = 0; 
        for(int x = 1; x <= n; ++x) {
            ans += k / x;
        }
        printf("%d\\n", ans);
    }
    return 0;
} 

• 容易得知，这样做的时间复杂度是 $O(n)$ 的。而 $n$ 的范围过大，所以需要对这个算法进行优化。

2、引理

• 为了尝试找出优化算法，我们引入如下的一个定理。

  【引理1】对于 $g(x)=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$ （其中 $x$ 为正整数，且 $1\le x\le n$），则 $g(x)$ 不同值的个数不会超过 $2\sqrt{n}$ 个。

证明

可以将 $g(x)$ 的值分成小于 $\sqrt{n}$ 和 大于等于 $\sqrt{n}$ 的两部分，如下：
  （1）当 $g(x)<\sqrt{n}$ 时，$g(x)$ 最多 $\sqrt{n}-1$ 个值。
  （2）当 $g(x)\ge \sqrt{n}$ 时，则 $\sqrt{n}\le \lfloor \frac{n}{x}\rfloor \le \frac{n}{x}$，从而推导得出 $x\le \sqrt{n}$，所以这种情况下 $x$ 范围为 $[1,\sqrt{n}]$，即最多 $\sqrt{n}$ 个值，自然 $g(x)$ 也就最多 $\sqrt{n}$ 个值。

• 综上所述，$g(x)$ 的值不会超过 $2\sqrt{n}$ 个值。
• 以上就是整数分块的核心。

三、整数分块的性质

1、单调性

• 如图三-1-1所示，代表的是函数 $g^{\prime }(x)=\frac{25}{x}$ 的图像。这是一个单调不增的函数，即随着 $x$ 的增大，$g^{\prime }(x)$ 越来越小。

图三-1-1

• $g(x)=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$ 的单调性和 $g^{\prime }(x)=\frac{n}{x}$ 是一致的，所以 $g(x)$ 也是单调不增的。

2、连续性

• 结合【引理1】和单调性，要把 $n$ 个 $x$ 映射到 $\sqrt{n}$ 个 $g(x)$，必然有一部分的 $g(x)$ 值是连续相同的。
• 如图三-2-1所示，$n=25$ 的情况如下：

图三-2-1

• 不同颜色代表的不同整数分块，值相同的一定是连续的，所以对于每个 $g(x)$ 的值（也就是上图中的 $\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$ 的值）我们只需要知道一个区间即可。

3、连续区间

• 连续的区间表示成表格的形式，如图三-3-1所示：

$x\in [l,r]$	$g(x)$
[1,1]	25
[2,2]	12
[3,3]	8
[4,4]	6
[5,5]	5
[6,6]	4
[7,8]	3
[9,12]	2
[13,25]	以上是关于夜深人静写算法（三十八）- 整数分块的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 夜深人静写算法（三十）- 二分快速幂 夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数 夜深人静写算法（三十四）- 逆元 夜深人静写算法（三十三）- 扩展欧拉定理 夜深人静写算法（三十二）- 费马小定理 夜深人静写算法（三十六）- 中国剩余定理