ST表和倍增算法（Array Stabilization (GCD version）Codeforces Round #717 (Div. 2) D. Cut）

Posted 2021-08-08 solemntee

ST表

ST 表是用于解决可重复贡献问题的数据结构。
可重复贡献问题是指对于运算$opt$，满足$xoptx=x$，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。----------------------------------------------oi-wiki

应用

1、区间最值、gcd

for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(i+(1<<j)-1<=n)f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);//f[i][j]表示区间(i,i+(1<<j)范围内的最小值
    if(i+(1<<j)-1<=n)f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);//f[i][j]表示区间(i,i+(1<<j)范围内的最大值
    if(i+(1<<j)-1<=n)f[i][j]=__gcd(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);//f[i][j]表示区间(i,i+(1<<j)范围内的gcd        
}

2、区间跳跃问题
其实这个已经不叫做ST表了，只是同样使用了倍增的思想

for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    jmp[i][j]=jmp[jmp[i][j-1]][j-1];//jmp[i][j]表示从i点开始跳跃1<<j次所在位置
}

问题

Codeforces Round #731 (Div. 3) F. Array Stabilization (GCD version)
题目大意：给你一个环$a[0],...a[n-1]$，每一次操作后$a[i]$等于相邻两个数的$gcd$，也就是$a[i{]}^{\prime }=gcd(a[i],a[i+1\%n])$，问多少次操作后$a[0]=a[1]=...=a[n-1]$。
先处理出整个数组的$gcd$然后把数组里面的每个数除以公共$gcd$，然后知道回合数等于最长的$gcd$不为1的区间长度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[500005];
int f[600005][40];
bool check(int l,int r)
{
    int t=log2(r-l+1), len=1<<t;
    return __gcd(f[l][t], f[r-len+1][t])!=1;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        int gcd=a[1];
        for(int i=2;i<=n;i++)gcd=__gcd(a[i],gcd);
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]/=gcd;
//        printf("%d\\n",gcd);
        for(int i=n+1;i<2*n;i++)a[i]=a[i-n];
        for(int i=1;i<2*n;i++)f[i][0]=a[i];
 
        for(int j=1;(1<<j)<2*n;j++)
        for(int i=1;i<2*n;i++)f[i][j]=__gcd(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        int maxx=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int l=0,r=n-1;
            while(l<r)
            {
                int mid=(l+r+1)/2;
                if(check(i,i+mid-1))l=mid;
                else r=mid-1;
            }
            maxx=max(maxx,l);
        }
        printf("%d\\n",maxx);
    }
    return 0;
}

Codeforces Round #717 (Div. 2) D. Cut
题目大意：给你一个数组$q$组询问，每组询问区间$l$到$r$，问区间$(l,r)$最少可以被拆成几个连续小区间使得每个小区间满足区间内所有数的$lcm$等于他们里面数的乘积。
容易知道满足这样条件的区间内数字两两互素，首先我们对于每个数处理出右边第一个与他不互素的数。
然后对于每个数字二分以它为起点的合法区间。
然后处理出从第$i$个数字开始并排放下$1<<j$个合法区间的最右端位置。
然后对于每一组询问我们可以以$O(logn)$的复杂度解决，总的复杂度$O(qlogn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nxt[100005];
int a[100005];
vector<int>v[100005];
int f[100005][30];
int jmp[100005][30];
int check(int l,int r)
{
    int t=log2(r-l+1),len=1<<t;
    return min(f[l][t],f[r-len+1][t]);
}
int main()
{
    int n,q;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)nxt[i]=1e9;

    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=1;j*j<=a[i];j++)
        {
            if(a[i]%j==0)
            {
                if(j!=1&&!v[j].empty())nxt[i]=min(nxt[i],v[j][v[j].size()-1]);
                if(a[i]/j!=1&&!v[a[i]/j].empty())nxt[i]=min(nxt[i],v[a[i]/j][v[a[i]/j].size()-1]);
            }
        }
        for(int j=1;j*j<=a[i];j++)
        {
            if(a[i]%j==0)
            {
                if(j!=1)v[j].push_back(i);
                if(a[i]/j!=1)v[a[i]/j].push_back(i);
            }
        }
    }
//    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",nxt[i]);
//    printf("\\n");
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=nxt[i];

    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i+(1<<j)-1<=n)f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
//        printf("i=%d j=%d %d\\n",i,j,f[i][j]);
    }


    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l=0,r=n-i;
        while(l<r)
        {
            int mid=(l+r+1)/2;
            if(check(i,i+mid)>i+mid)l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        jmp[i][0]=i+l+1;
//        printf("%d %d\\n",i,jmp[i][0]);
    }
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        jmp[i][j]=jmp[jmp[i][j-1]][j-1];
//        printf("i=%d j=%d %d\\n",i,j,jmp[i][j]);
    }
    int maxx=(int)log2(n);

    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        int now=l;
        int ans=1;
        while(true)
        {
            for(int j=maxx;j>=0;j--)
            {
                if(jmp[now][j]<=r&&jmp[now][j]!=0)
                {
                    ans+=1<<j;
                    now=jmp[now][j];
                    continue;
                }
            }
            break;
        }
        printf("%d\\n",ans);
    }
    return 0;
}