LeetCode239 & 洛谷P1886：滑动窗口

Posted 2021-08-08 ZSYL

滑动窗口

• 题目描述
• 前言
• 优先队列
• 单调队列
• 最值问题
• 优先队列
• 单调队列

题目描述

有一个长为 n 的序列 a，以及一个大小为 k 的窗口。现在这个从左边开始向右滑动，每次滑动一个单位，求出每次滑动后窗口中的最大值和最小值。

例如：

The array is [1,3,−1,−3,5,3,6,7], and k = 3。

输入格式

输入一共有两行，第一行有两个正整数 n,k。 第二行 n 个整数，表示序列 a

输出格式

输出共两行，第一行为每次窗口滑动的最小值
第二行为每次窗口滑动的最大值

输入输出样例

输入

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

前言

对于每个滑动窗口，我们可以使用 O(k) 的时间遍历其中的每一个元素，找出其中的最大值。对于长度为 n 的数组 nums 而言，窗口的数量为 n−k+1，因此该算法的时间复杂度为O((n−k+1)k)=O(nk)，会超出时间限制，因此我们需要进行一些优化。

我们可以想到，对于两个相邻（只差了一个位置）的滑动窗口，它们共用着 k−1 个元素，而只有 1 个元素是变化的。我们可以根据这个特点进行优化。

优先队列

对于「最大值」，我们可以想到一种非常合适的数据结构，那就是优先队列（堆），其中的大根堆可以帮助我们实时维护一系列元素中的最大值。

对于本题而言，初始时，我们将数组 }nums 的前 k 个元素放入优先队列中。每当我们向右移动窗口时，我们就可以把一个新的元素放入优先队列中，此时堆顶的元素就是堆中所有元素的最大值。

然而这个最大值可能并不在滑动窗口中，在这种情况下，这个值在数组 nums 中的位置出现在滑动窗口左边界的左侧。

因此，当我们后续继续向右移动窗口时，这个值就永远不可能出现在滑动窗口中了，我们可以将其永久地从优先队列中移除。

我们不断地移除堆顶的元素，直到其确实出现在滑动窗口中。此时，堆顶元素就是滑动窗口中的最大值。为了方便判断堆顶元素与滑动窗口的位置关系，我们可以在优先队列中存储二元组 (num,index)，表示元素 num 在数组中的下标为 index。

class Solution {
    public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<int[]>(new Comparator<int[]>() {
            public int compare(int[] pair1, int[] pair2) {
                return pair1[0] != pair2[0] ? pair2[0] - pair1[0] : pair2[1] - pair1[1];
            }
        });
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            pq.offer(new int[]{nums[i], i});
        }
        int[] ans = new int[n - k + 1];
        ans[0] = pq.peek()[0];
        for (int i = k; i < n; ++i) {
            pq.offer(new int[]{nums[i], i});
            while (pq.peek()[1] <= i - k) {
                pq.poll();
            }
            ans[i - k + 1] = pq.peek()[0];
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： O(nlogn)，其中 n 是数组 nums 的长度。在最坏情况下，数组 nums 中的元素单调递增，那么最终优先队列中包含了所有元素，没有元素被移除。由于将一个元素放入优先队列的时间复杂度为 O(logn)，因此总时间复杂度为 O(nlogn)。
• 空间复杂度：O(n)，即为优先队列需要使用的空间。这里所有的空间复杂度分析都不考虑返回的答案需要的O(n) 空间，只计算额外的空间使用。

单调队列

思路与算法

我们可以顺着方法一的思路继续进行优化。

由于我们需要求出的是滑动窗口的最大值，如果当前的滑动窗口中有两个下标 i 和 j，其中 i 在 j 的左侧（i<j），并且 i 对应的元素不大于 j 对应的元素（nums[i]≤nums[j]），那么会发生什么呢？

当滑动窗口向右移动时，只要 i 还在窗口中，那么 j 一定也还在窗口中，这是 i 在 j 的左侧所保证的。因此，由于 nums[j] 的存在，nums[i] 一定不会是滑动窗口中的最大值了，我们可以将nums[i] 永久地移除。

当滑动窗口向右移动时，我们需要把一个新的元素放入队列中。为了保持队列的性质，我们会不断地将新的元素与队尾的元素相比较，如果前者大于等于后者，那么队尾的元素就可以被永久地移除，我们将其弹出队列。我们需要不断地进行此项操作，直到队列为空或者新的元素小于队尾的元素。

由于队列中下标对应的元素是严格单调递减的，因此此时队首下标对应的元素就是滑动窗口中的最大值。但与方法一中相同的是，此时的最大值可能在滑动窗口左边界的左侧，并且随着窗口向右移动，它永远不可能出现在滑动窗口中了。因此我们还需要不断从队首弹出元素，直到队首元素在窗口中为止。

为了可以同时弹出队首和队尾的元素，我们需要使用双端队列。满足这种单调性的双端队列一般称作「单调队列」。

class Solution {
    public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        Deque<Integer> deque = new LinkedList<Integer>();
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            while (!deque.isEmpty() && nums[i] >= nums[deque.peekLast()]) {
                deque.pollLast();
            }
            deque.offerLast(i);
        }

        int[] ans = new int[n - k + 1];
        ans[0] = nums[deque.peekFirst()];
        for (int i = k; i < n; ++i) {
            while (!deque.isEmpty() && nums[i] >= nums[deque.peekLast()]) {
                deque.pollLast();
            }
            deque.offerLast(i);
            while (deque.peekFirst() <= i - k) {
                deque.pollFirst();
            }
            ans[i - k + 1] = nums[deque.peekFirst()];
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 nums 的长度。每一个下标恰好被放入队列一次，并且最多被弹出队列一次，因此时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度：O(k)。与方法一不同的是，在方法二中我们使用的数据结构是双向的，因此「不断从队首弹出元素」保证了队列中最多不会有超过 k+1 个元素，因此队列使用的空间为 O(k)。

最值问题

洛谷问题的最大值最小值

优先队列

import java.io.*;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
    static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    public static void main(String[] args) {
        int n = nextInt();
        int k = nextInt();
        int[] num = new int[n];
        int[] max = new int[n-k+1];
        int[] min = new int[n-k+1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            num[i] = nextInt();
        }
        PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>(new Comparator<int[]>() {
            @Override
            public int compare(int[] o1, int[] o2) {
                return (o1[0] != o2[0]) ? o2[0]-o1[0] : o2[1]-o1[1];
            }
        });
        PriorityQueue<int[]> pq1 = new PriorityQueue<>(new Comparator<int[]>() {
            @Override
            public int compare(int[] o1, int[] o2) {
                return (o1[0] != o2[0]) ? o1[0]-o2[0] : o1[1]-o2[1];
            }
        });
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 移动窗口，即加入pq
            pq1.offer(new int[]{num[i], i});
            // 若此时最大值不在窗口中就pop
            while (pq1.peek()[1] <= (i-k)) {
                pq1.poll();
            }
            if (i >= k-1)
                out.print(pq1.peek()[0] +" ");
        }
        out.println();

        // 第一个窗口的最大值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 移动窗口，即加入pq
            pq.offer(new int[]{num[i], i});
            // 若此时最大值不在窗口中就pop
            while (pq.peek()[1] <= (i-k)) {
                pq.poll();
            }
            if (i >= k-1)
                out.print(pq.peek()[0] +" ");
        }
        out.flush();
    }
    static int nextInt() {
        try {
            in.nextToken();
        } catch (IOException e) {
            e.printStackTrace();
        }
        return (int)in.nval;
    }
}

单调队列

import java.io.*;
import java.util.Deque;
import java.util.LinkedList;

public class Main {
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
    static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    public static void main(String[] args) {
        int n = nextInt();
        int k = nextInt();
        int[] nums = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = nextInt();
        }
        Deque<Integer> dq = new LinkedList<>();
        // 首先将k个数放入优先队列中
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!dq.isEmpty() && nums[i] <= nums[dq.peekLast()]) {
                dq.pollLast();
            }
            dq.offerLast(i);
            // 移动过程中可能最大值被移除
            while (dq.peekFirst() <= i-k) {
                dq.pollFirst();
            }
            if (i >= k-1)
                out.print(nums[dq.peekFirst()]+" ");
        }
        out.println();
        dq = new LinkedList<>();
        // 首先将k个数放入优先队列中
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!dq.isEmpty() && nums[i] >= nums[dq.peekLast()]) {
                dq.pollLast();
            }
            dq.offerLast(i);
            // 移动过程中可能最大值被移除
            while (dq.peekFirst() <= i-k) {
                dq.pollFirst();
            }
            if (i >= k-1)
                out.print(nums[dq.peekFirst()]+" ");
        }
        out.flush();
    }
    static int nextInt() {
        try {
            in.nextToken();
        } catch (IOException e) {
            e.printStackTrace();
        }
        return (int)in.nval;
    }
}