基础数论笔记

Posted 2021-08-08 WHY2020

基础数论笔记

笔者年尚十四，水平极为有限，该笔记主要基于《具体数学》，并对一些部分作出了一些不那么令人费解的解释，望大家指出错误，感激不尽。

整除性

• \\(\\gcd(n,m)=\\max\\{~k~|~~k~|~n~,~k~|~m\\}\\)

• \\(\\text{lcm}(n,m)=\\min\\{~k~|~~k>0~,n~|~k~,~m~|~k\\}\\)

• \\(\\gcd(0,n)=n\\)，\\(\\gcd(m,n)=\\gcd(n~mod~m,m)~~m>0\\)

• \\(k|m~,~k|n \\Leftrightarrow k|\\gcd(n,m)\\)

\\[充分性：\\because k|m~且~k|n~\\therefore k|mm\'+nn\'\\because~mm\'+nn\'=gcd(n,m)~\\therefore k|gcd(n,m). \\\\ 必要性：\\because~k|gcd(n,m)~\\therefore k~至少整除~n,m~分别一个因子\\therefore k|n，k|m. \\]

• \\(\\gcd(n,m) \\times \\text{lcm}(n,m)=n \\times m\\)

  \\[\\because \\gcd(n,m)=\\prod_{p} p^{\\min (n_p,m_p)}~，~\\text{lcm}(n,m)=\\prod_{p} p^{\\max (n_p,m_p)} \\\\ \\therefore \\gcd(n,m) \\times \\text{lcm}(n,m)=\\prod_{p} p^{\\min (n_p,m_p)} \\times \\prod_{p} p^{\\max (n_p,m_p)}=\\prod_{p} p^{n_p+m_p} \\]

• \\(\\gcd(n,m)=\\gcd(kn,km)~，\\text{lcm}(n,m)=\\text{lcm}(kn,km)~~k>0\\)

\\[\\gcd(km,kn)=\\prod_{p}p^{\\min(n_p+k_p,m_p+k_p)}=\\prod_{p} p^{k\\min (n_p,m_p)}=k~\\gcd(n,m) \\\\ 同理~\\text{lcm}(km,kn)=k~\\text{lcm}(n,m)~ \\]

• \\(\\gcd(a_1,a_2,···a_n)=gcd(a1,gcd(a_2,···a_n))\\)
  \\[即证明~\\gcd~的结合律\\\\ \\\\下证\\gcd(a,\\gcd(b,c))=\\gcd(\\gcd(a,b),c)\\\\ \\because \\gcd(a,b)=\\prod_{p} p^{\\min (a_p,b_p)}，\\gcd(b,c)=\\prod_{p} p^{\\min (b_p,c_p)}\\\\ \\therefore \\gcd(a,\\gcd(b,c))=\\prod_{p} p^{\\min (a_p,\\min(b_p,c_p))}\\\\ \\gcd(\\gcd(a,b),c)=\\prod_{p} p^{\\min (\\min(a_p,b_p),c_p)}\\\\ \\because \\min~函数具有结合律\\\\ \\therefore \\prod_{p} p^{\\min (a_p,\\min(b_p,c_p))}=\\prod_{p} p^{\\min (\\min(a_p,b_p),c_p)}=\\prod_{p} p^{\\min (a_p,b_p,c_p)}\\\\ \\therefore \\gcd(a,\\gcd(b,c))=\\gcd(\\gcd(a,b),c)，\\gcd~函数具有结合律 \\]

素数

• 算数基本定理：仅有一种方式将 \\(n\\) 按照素数非减的次序写成素数的乘积

  说人话大概是这样：

  \\[显然的表示是 n=\\prod^m_{k=1}p_k~~p_1\\leq···\\leq p_m \\\\ 个人喜欢像这样表示~n=\\prod_{p}p^{n_p}~~任意~n_p\\geq0 \\]

  第二种表示中的 \\(n_p\\) 是一个数系，表示 \\(n\\) 的素因子 \\(p\\) 的指数，因为有大量的 \\(n_p\\) 为 \\(0\\) ，所以第二中表示实际上是一个有限的乘积

• \\(k=mn \\Leftrightarrow k_p=m_p+n_p\\) （初中知识）

• \\(m|n \\Leftrightarrow 任意~m_p\\leq n_p\\)

• \\(\\gcd(n,m)=\\prod_{p} p^{\\min (n_p,m_p)}~，~\\text{lcm}(n,m)=\\prod_{p} p^{\\max (n_p,m_p)}\\)

• 存在比任意给定素数集合更多的素数 ——欧几里得

  \\[设一个数~x=2\\times3\\times5\\times···\\times p_k+1 \\\\ 那么由于~p_1···p_k~都能整除~x-1~，所以~p_1···p_k~都不能整除~x~ \\\\ 所以在~x~的素因子中必然均为异于~p_1···p_k~的素数，甚至~x~就是一个素数 \\]

同余

可以差不多默认为整数取余

• \\(a \\equiv b~且~d \\equiv c \\Rightarrow a\\pm b \\equiv c\\pm d\\mod m\\)
• \\(a\\equiv b~且~c\\equiv d\\Rightarrow ac\\equiv bd \\mod m\\)
• \\(ad\\equiv bd~且~\\gcd(d,m)=1\\Leftrightarrow a\\equiv b \\mod m\\)

\\[必要性显然；\\\\ 充分性：存在~d\'，m\'~时~dd\'+mm\'=\\gcd(d,m)=1~，若~ad\\equiv bd~，则~add\'\\equiv bdd\'\\mod m~，所以~a\\equiv b~. \\]

• \\(ad\\equiv bd \\mod m\\Leftrightarrow a\\equiv b \\mod m/\\gcd(d,m)\\)

\\[必要性显然；\\\\ 充分性：\\because dd\'+mm\'=\\gcd(m,d) \\\\\\therefore a\\times \\gcd(d,m)\\equiv b\\times \\gcd(d,m) \\mod m \\therefore a\\equiv b \\mod m/\\gcd(d,m). \\]

• \\(a\\equiv b \\mod km\\Rightarrow a\\equiv b \\mod m\\)
• \\(a\\equiv b \\mod m~且~a\\equiv b \\mod n\\Leftrightarrow a\\equiv b \\mod \\text{lcm}(m,n)\\)

剩余系

\\[\\mathbb{To~Be~Continued} \\]