离散数学（荣誉） 作业一
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离散数学（荣誉）作业一
一、在一阶逻辑中构造下面推理的证明：
1. 学会的成员都有高级职称并且是专家。有些成员是青年人。所以有的成员是青年专家
解：
命题符号化：
F
(
x
)
:
x
F(x):x
F(x):x是学会成员
G
(
x
)
:
x
G(x):x
G(x):x是专家
H
(
x
)
:
x
H(x):x
H(x):x有高级职称
R
(
x
)
:
x
R(x):x
R(x):x是青年人
前提：
∀
x
(
F
(
x
)
→
G
(
x
)
∧
H
(
x
)
)
,
∃
x
(
F
(
x
)
∧
R
(
x
)
)
∀x(F(x)→G(x)∧H(x)),∃x(F(x)∧R(x))
∀x(F(x)→G(x)∧H(x)),∃x(F(x)∧R(x))
结论：
∃
x
(
F
(
x
)
∧
G
(
x
)
∧
R
(
x
)
)
∃x(F(x)∧G(x)∧R(x))
∃x(F(x)∧G(x)∧R(x))
证明：
①
∃
x
(
F
(
x
)
∧
R
(
x
)
)
∃x(F(x)∧R(x))
∃x(F(x)∧R(x)) 前提引入
②
F
(
y
)
∧
R
(
y
)
F(y)∧R(y)
F(y)∧R(y) EI规则
③
∀
x
(
F
(
x
)
→
G
(
x
)
∧
H
(
x
)
)
∀x(F(x)→G(x)∧H(x))
∀x(F(x)→G(x)∧H(x)) 前提引入
④
F
(
x
)
→
G
(
x
)
∧
H
(
x
)
F(x)→G(x)∧H(x)
F(x)→G(x)∧H(x) UI规则
⑤
F
(
y
)
F(y)
F(y) ②化简
⑥
G
(
y
)
∧
H
(
y
)
G(y)∧H(y)
G(y)∧H(y) ④⑤假言推理
⑦
R
(
y
)
R(y)
R(y) ②化简
⑧
G
(
y
)
G(y)
G(y) ⑥化简
⑨
F
(
y
)
∧
G
(
y
)
∧
R
(
y
)
F(y)∧G(y)∧R(y)
F(y)∧G(y)∧R(y) 合取
⑩
∃
x
(
F
(
x
)
∧
G
(
x
)
∧
R
(
x
)
)
∃x(F(x)∧G(x)∧R(x))
∃x(F(x)∧G(x)∧R(x)) EG规则
2. 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车. 每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车.有的人不喜欢骑自行车. 因而有的人不喜欢步行.（个体域人类集合）
解：
命题符号化：
F
(
x
)
:
x
F(x): x
F(x):x喜欢步行
G
(
x
)
:
x
G(x):x
G(x):x喜欢坐汽车
H
(
x
)
:
x
H(x):x
H(x):x喜欢骑自行车
前提：
∀
x
(
F
(
x
)
→
¬
G
(
x
)
)
,
∀
x
(
G
(
x
)
∨
H
(
x
)
)
,
∃
x
¬
H
(
x
)
∀x(F(x)→¬G(x)),∀x(G(x)∨H(x)),∃x¬H(x)
∀x(F(x)→¬G(x)),∀x(G(x)∨H(x)),∃x¬H(x)
结论：
∃
x
¬
F
(
x
)
∃x¬F(x)
∃x¬F(x)
证明：
①
∃
x
¬
H
(
x
)
∃x¬H(x)
∃x¬H(x) 前提引入
②
¬
H
(
y
)
¬H(y)
¬H(y) EI规则
③
∀
x
(
G
(
x
)
∨
H
(
x
)
)
∀x(G(x)∨H(x))
∀x(G(x)∨H(x)) 前提引入
④
G
(
y
)
∨
H
(
y
)
G(y)∨H(y)
G(y)∨H(y) UI规则
⑤
G
(
y
)
G(y)
G(y) ②④析取三段论
⑥
∀
x
(
F
(
x
)
→
¬
G
(
x
)
)
∀x(F(x)→¬G(x))
∀x(F(x)→¬G(x)) 前提引入
⑦
F
(
y
)
→
¬
G
(
y
)
F(y)→¬G(y)
F(y)→¬G(y) UI规则
⑧
¬
F
(
y
)
¬F(y)
¬F(y) ⑤⑦拒取式
⑨
∃
x
¬
F
(
x
)
∃x¬F(x)
∃x¬F(x) EG规则
3. 东北人都不怕冷。王国端怕冷。所以王国端不是东北人。
解：
命题符号化：
F
(
x
)
:
x
F(x): x
F(x):x是东北人
G
(
x
)
:
x
G (x): x
G(x):x怕冷
a
:
a:
a:王国端
前提：
∀
x
(
F
(
x
)
→
¬
G
(
x
)
)
,
G
(
a
)
∀x(F(x)→¬G(x)),G(a)
∀x(F(x)→¬G(x)),G(a)
结论：
¬
F
(
a
)
¬F(a)
¬F(a)
证明：
①
∀
x
(
F
(
x
)
→
¬
G
(
x
)
)
∀x(F(x)→¬G(x))
∀x(F(x)→¬G(x)) 前提引入
②
F
(
a
)
→
¬
G
(
a
)
F(a)→¬G(a)
F(a)→¬G(a) UI规则
③
G
(
a
)
G(a)
G(a) 前提引入
④
¬
F
(
a
)
¬F(a)
¬F(a) ②③拒取式
4. 每个大学毕业生不是继续读硕士就是找工作就业。每个大学毕业生只有成绩优秀才继续读硕士。有些毕业生成绩优秀，但并非每个毕业生成绩均优秀。因此，有些毕业生找工作就业。
解：
命题符号化：
集合
A
：
A：
A：大学生
P
(
x
)
:
x
P (x): x
P(x):x继续读硕士
Q
(
x
)
:
x
Q(x):x
Q(x):x找工作就业
R
(
x
)
:
x
R(x):x
R(x):x成绩优秀
前提：
∀
(
x
∈
A
)
(
P
(
x
)
⋁
Q
(
x
)
)
∀
(
x
∈
A
)
(
P
(
x
)
→
R
(
x
)
)
∃
(
x
∈
A
)
(
¬
R
(
x
)
)
∀(x∈A)(P(x)⋁Q(x)) ∀(x∈A)(P(x)→R(x)) ∃(x∈A)(¬R(x))
∀(x∈A)(P(x)⋁Q(x))∀(x∈A)(P(x)→R(x))∃(x∈以上是关于离散数学（荣誉） 作业一的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章