积分级数题集02

Posted 2021-08-06 梧桐鹿

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\\[I_k = \\int_0^\\infty e^{-nx} \\sin^{2k}\\! x {\\rm d}x \\quad(n,k\\in \\mathbb{N}^*) \\]

Solution:

\\[\\begin{align*} I_k &= \\int_0^\\infty e^{-nx} \\sin^{2k}\\! x {\\rm d}x \\\\ &=\\left[-\\frac{1}{n}e^{-n x}\\sin^{2k}\\! x\\right]_0^\\infty-\\int_0^\\infty -\\frac{2k}{n}e^{-nx} \\sin^{2k-1}\\! x \\cos x{\\rm d}x \\\\ &=\\frac{2k}{n} \\int_0^\\infty e^{-n x}\\sin^{2k-1}\\!x\\cos x{\\rm d}x \\\\ &=\\frac{2k}{n}\\left(\\left[-\\frac{1}{n}e^{-n x}\\sin^{2k-1}\\!x\\cos x\\right]_0^\\infty-\\int_0^\\infty -\\frac{1}{n}e^{-n x}\\frac{{\\rm d}}{{\\rm d}x}(\\sin^{2k-1}\\!x\\cos x){\\rm d}x \\right) \\\\ &=\\frac{2k}{n^2}\\int_0^\\infty e^{-n x}\\left((2k-1)\\sin^{2k-2}\\!x \\cos^2 x-\\sin^{2k}\\!x\\right){\\rm d}x \\\\ &=\\frac{2k}{n^2}\\int_0^\\infty e^{-n x}\\left((2k-1)\\sin^{2k-2}\\!x (1-\\sin^2 x)-\\sin^{2k}\\!x\\right){\\rm d}x \\\\ &=\\frac{2k}{n^2}\\int_0^\\infty e^{-n x}\\left((2k-1)\\sin^{2k-2}\\!x-2k\\sin^{2k}\\!x\\right){\\rm d}x \\\\ &=\\frac{2k\\times(2k-1)}{n^2}I_{k-1}-\\frac{2k \\times2k}{n^2}I_{k}\\\\ n^2 I_k &= 2k(2k-1)I_{k-1}-4k^2I_k \\\\ (n^2+4k^2)I_k&=2k(2k-1)I_{k-1} \\\\ I_k &= \\frac{2k(2k-1)}{n^2+4k^2} I_{k-1} \\end{align*} \\]

接下来只需求出 \\(I_0\\) 即可

\\[I_0 = \\int_0^\\infty e^{-nx}{\\rm d}x= \\left[-\\frac{1}{n}e^{-nx}\\right]_0^\\infty = \\frac{1}{n} \\]

经过简单递推容易得到

\\[I_k = \\frac{(2k)!}{n \\prod_{j=1}^k (n^2 + 4j^2)} \\]

\\(\\square\\)