Codeforces Round #727 (Div. 2) E. Game with Cards(巧妙dp的优化)

Posted 2021-08-06 issue是fw

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非常显然有一个$O(n^2)$的$dp$,虽然它的复杂度高的吓人,但还是让我们小心翼翼的把它写出来

定义$f[i][j][0/1]$表示前$i$个操作后,第$i$次何左手/右手交换,且另一只手上是第$j$次操作时的数

该状态是否存在

这样就是傻瓜式转移

然而复杂度太劣,我们考虑$dp$优化中常用的套路,让数组存储的值发挥作用

考虑$f[i][0/1]$表示第$i$次操作和左手/右手交换,且另一只手的数最多可以延续到第$f[i][0/1]$轮操作,期间不需要交换

于是我们需要预处理一个数组$nxt[i][0/1]$表示第$i$次操作的数,在左手/右手的限制下最多保持到哪不需要交换

以$k_i$和左手交换为例

Ⅰ.若$f[i-1][0]>=i$,也就是右手握着的那个数能延续下去

$\mathrm{f}[\mathrm{i}][0]=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{f}[\mathrm{i}][0],\mathrm{f}[\mathrm{i}-1][0])$

Ⅱ.若$nxt[i-1][1]>=i$,也就是右手握着的$k[i-1]$能延续下去

$\mathrm{f}[\mathrm{i}][0]=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{f}[\mathrm{i}][0],\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{t}[\mathrm{i}-1][1])$

右手同理,于是我们得到了一个$O(n)$的转移方程

剩下问题就是处理$nxt[i][0/1]$数组

我们可以使用$st$表维护区间最值,然后对每个$k_i$往右边二分得到最远的点

只需要满足,$k_i$小于等于区间右限制的最小值,且大于等于区间左限制的最大值即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int n,m,a[maxn][2],b[maxn][2],k[maxn];
int mi[2][maxn][21],mx[2][maxn][21],nxt[maxn][2];
int f[maxn][2],pre[maxn][2];
/*
	f[i][0/1]表示
	截至第i次,左手选择i,右手最远能延续到的位置 
	截至第i次,右手选择i,左手最远能延续到的位置 
*/
void read()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin >> k[i] >> a[i][0] >> b[i][0] >> a[i][1] >> b[i][1];
}
int getmi(int id,int l,int r)
{
	int k = log2(r-l+1);
	return min( mi[id][l][k],mi[id][r-(1<<k)+1][k] ); 
}
int getmx(int id,int l,int r)
{
	int k = log2(r-l+1);
	return max( mx[id][l][k],mx[id][r-(1<<k)+1][k] ); 
}
void init(int id)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)//mi表示最大值的最小值
		mi[id][i][0] = b[i][id], mx[id][i][0] = a[i][id];
	for(int i=1;i<=20;i++)
	for(int j=0;j+(1<<i)-1<=n;j++)
	{
		int x = j+(1<<(i-1));
		mi[id][j][i] = min( mi[id][j][i-1],mi[id][x][i-1] );
		mx[id][j][i] = max( mx[id][j][i-1],mx[id][x][i-1] );
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		int l = i, r = n, ans = 0;
		while( r>=l )
		{
			int mid = l+r>>1;
			int flag1 = ( k[i]<=getmi(id,i,mid) );//不能超过右端点
			int flag2 = ( k[i]>=getmx(id,i,mid) );//不能小于左端点 
			if( flag1&&flag2 )	l = mid+1, ans = mid;
			else	r = mid-1;
		}
		nxt[i][id] = ans;
	}
}
void dfs(int x,int y)
{
	if( x==0 )	return;
	dfs( x-1,pre[x][y] );
	cout << y << " ";
}
void DP()
{
	memset( f,-1,sizeof f );
	f[0][0] = nxt[0][1], f[0][1] = nxt[0][0];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=1;j++)
	{
		if( k[i]>=a[i][j] && k[i]<=b[i][j] )
		{ 
			if( f[i-1][j]!=-1 && f[i-1][j]>=i )//右手能延续,当然可以更新 
				f[i][j] = f[i-1][j], pre[i][j] = j; 
			if( f[i-1][j^1]!=-1 && nxt[i-1][j^1]>=max(f[i][j],i) ) 
				f[i][j] = nxt[i-1][j^1], pre[i][j] = j^1; 
		}
	}
	if( f[n][0]+f[n][1]==-2 )	puts("No");
	else
	{
		puts("Yes");
		if( f[n][0]!=-1 )	dfs(n,0);
		else	dfs(n,1);
	}
}
int main()
{
	read();
	init(0); init(1);
	DP();
}