Codeforces Round #729 (Div. 2) C. Strange Function(lcm,简单容斥)

Posted 2021-08-06 issue是fw

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设$i$为不是数字$x$因子中最小的数

那么$1$到$i-1$都是$x$的因子

换句话说$n$拥有因子$s_1=lcm(1,2,...i-1)$

而且$n$没有因子$s_2=lcm(1,2,...i)$

容易知道$s_2$为$s_1$的倍数,存在包含关系,所以只要容斥一下

$n/s_1-n/s_2$就是$f(x)=i$的个数

这样我们暴力枚举$i$计算即可,因为$lcm(1...i)$很快就会大于$n$,就可以退出

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 3e5+10;
int a[maxn],t,n;
int gcd(int a,int b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
int lcm(int a,int b){ return a/gcd(a,b)*b; }
signed main()
{
	cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n;
		//只要是x的倍数,那么因子中都有1..i,那么看看是否存在i+1即可 
		int ans = 1, nxt = 1, res = 0;
		for(int i=1; ;i++)
		{
			ans = lcm( ans,i );
			if( ans>n )	break;
			nxt = lcm( ans,i+1 );
			res = ( res+(i+1)*( n/ans-n/nxt )%mod )%mod;
		}		
		cout << res << endl;
	}	
}