Codeforces Round #729 (Div. 2) B. Plus and Multiply(有意思的构造)

Posted 2021-08-06 issue是fw

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题意

定义一个无限集合,首先$1$在集合中

Ⅰ.若元素$x$在集合中,那么$x\ast a$在集合中

Ⅱ.若元素$x$在集合中,那么$x+b$在集合中

给定$n,a,b$,问$n$是否在参数为$a,b$的无限集合中

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毫无疑问,这题的难度远超$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}2\mathrm{D}$的难度

让我们慢慢分析…

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考虑为了凑成$n$,共执行$z$次操作Ⅰ,

设第$i$次执行操作Ⅰ后连续执行了$k_i$次操作二

得到

$$n=\sum _{i=0}^z{k}_i\ast b\ast a^i+a^z$$

其中$z,k_i$是$[0,\inf ]$中的任意数

发现$a^z$增长的会非常快,考虑枚举$z$得到

$$n-a^z=\sum _{i=0}^z{k}_i\ast b\ast a^i$$

发现此时$n-a^z$模$b$一定为零

而且我们可以证明,只要满足上述条件,就一定能找到一组正确的$k_i$解

因为可以构造一组这样的解

$$k_i=\{\begin{array}{ll}\frac{n-a^z}{b}& \text{i=0}\\ 0& \text{i!=0}\end{array}$$

所以枚举$z$即可得到解,特判$a=1$的情况即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,a,b;
signed main()
{
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n >> a >> b;
		if( a==1 )	
		{
			if( (n-1)%b==0 )	cout << "YES\\n";
			else	cout << "No\\n";
			continue;
		}
		int az = 1, flag = 0;
		for(int i=1;;i++)
		{
			if( az>n )	break;
			if( (n-az)%b==0 )	flag = 1;
			az = az*a;
		}
		if( flag )	cout << "Yes\\n";
		else	cout << "No\\n";
	}
}