AtCoder Beginner Contest 206 E - Divide Both(容斥)

Posted 2021-08-06 issue是fw

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不是多么难的一题,但是却写了很久,下次不能再脑溢血了…

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题意

求$x\in [L,R]\&\&y\in [L,R]$的合法$(x,y)$对的数量

其中设$gcd(x,y)=k$,满足$k!=1\&\&k!=x\&\&k!=y$

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考虑到$L,R$范围不大,枚举每个值单独进行计算

枚举$x$,我们考虑计算$(x,y)\&\&y>x$的方案有多少

让我们先不管是否满足要求,先求出$[x+1,R]$中与$x$不互质的数有多少

这个我们可以对$x$分解质因子,只要包含任意一个$x$的质因子就不互质

所以我们加上包含有一个质因子的,减去有两个质因子的,加上有三个质因子的…

但是这么算还是重复,因为自己不能作为$gcd$

所以我们再减去$R/x-1$即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e6+10;
int L,R,vis[maxn],prime[maxn],mi[maxn],top;
vector<int>vec;
void init()
{
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
	{
		if( !vis[i] )	prime[++top] = i, mi[i] = i;
		for(int j=1;j<=top&&prime[j]*i<=1000000;j++)
		{
			vis[prime[j]*i] = 1;	mi[prime[j]*i] = prime[j];
			if( i%prime[j]==0 )	break;
		}
	}
}
int get(int x,int L,int R)
{
	while( x!=1 )
	{
		vec.push_back( mi[x] );
		int k = mi[x];
		while( x!=1 && mi[x]==k )	x /= mi[x];
	}
	int w = vec.size(), ans = 0;//先找和自己不互质的数 
	for(int i=1;i<(1<<w);i++)
	{
		int r = 1, bit = 0;
		for(int j=0;j<w;j++)
			if( (i>>j)&1 )	r *= vec[j], bit++;
		if( bit&1 )	ans += R/r-(L-1)/r;
		else	 ans -= R/r-(L-1)/r;
	}
	vec.clear();
	return ans;	
}
signed main()
{
	init();
	cin >> L >> R;
	L = max( L,2ll ), R = max( R,L );
	long long ans = 0;
	for(int i=L;i<=R;i++)	ans += get(i,i+1,R);
	for(int i=L;i<=R;i++)	ans -= (R/i-1);
	cout << ans*2;
}

也有另外一种做法

我们直接枚举$x$作为$gcd$,其中$x$不应该含有两个相同的质因子,否则会算重复

显然有$k=R/x-(L-1)/x$个数包含因子$x$

那么答案是加上$k\ast (k-1)/2$吗?

然而,这$k\ast (k-1)/2$的数对确实有公因子$x$,但可能他们的$gcd$是$fx$,其中$f$未知

所以我们采用容斥的做法,若$x$有奇数个质因子,加上答案,否则减去答案.

其实和上面的道理差不多。

贴一个官方题解的代码

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int main(){
  long long l,r;
  cin >> l >> r;
  long long res=0;
  vector<int> cnt(1048576,0);
  for(long long i=2;i<=r;i++){
    if(cnt[i]!=0){continue;}
    for(long long j=i;j<=r;j+=i){cnt[j]++;}
    for(long long j=i*i;j<=r;j+=i*i){cnt[j]=-1000000007;}
  }
  for(long long i=2;i<=r;i++){
    if(cnt[i]<0){continue;}
    long long cc=(r/i)-((l-1)/i);
    if(cnt[i]%2){res+=(cc*(cc-1))/2;}
    else{res-=(cc*(cc-1))/2;}
  }
  for(long long i=max(2ll,l);i<=r;i++){res-=(r/i-1);}
  cout << 2*res << '\\n';
  return 0;
}