狄利克雷卷积总结

Posted 2021-08-06 Harris-H

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了狄利克雷卷积总结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

狄利克雷卷积总结

积性函数

常见的积性函数： $\\large \\varphi,\\mu,\\sigma,d$

常见的完全积性函数： $\\large \\epsilon,I,id$

函数名	数学表达式
欧拉函数	$\\varphi(n)$
莫比乌斯函数	$\\mu(n)$
元函数	$\\epsilon(n)=[n=1]$
恒等函数	$I (n) = 1$
约数个数函数	$d (n)$
约数和函数	$\\sigma(n)$
一次函数	$i d (n) = n$

狄利克雷卷积

在这里插入图片描述

狄利克雷卷积的性质

在这里插入图片描述

证明性质3

恒等函数在狄利克雷卷积中是相当于单位元的存在

$\\large f* \\epsilon =f$

证明：

$\\large =\\sum\\limits_{d|n}f(d)\\epsilon(\\dfrac{n}{d})$

当且仅当 $d = n$ 时， $f(d)\\epsilon(\\dfrac{n}{d})=f(n)\\ne 0$

则 $\\large f * \\epsilon = f$

莫比乌斯反演的证明

若 $g(n)=\\sum\\limits_{d|n}f(d)$

则 $f(n)=\\sum\\limits_{d|n}\\mu(d)g(\\dfrac{n}{d})$

证明:

利用 $D i r i c h l e t$ 卷积的性质即可： $\\mu * I =\\epsilon$

给出的条件等价于

$\\large g=f* I$

$\\large g*\\mu= f * \\mu * I =f * \\epsilon=f$

杜教筛

杜教筛可用来在非线性时间求解积性函数的前缀和

在这里插入图片描述

引用一波，但是第一行没写好。

$\\large=\\sum\\limits_{i=1}^n\\sum\\limits_{d|i} f(d)g(\\dfrac{i}{d})=\\sum\\limits_{i=1}^n\\sum\\limits_{d|i} f(\\dfrac{i}{d})g(d)$

这样比较好理解。

在这里插入图片描述

几个简单的应用

1. $\\mu$ 的前缀和

$\\large S(n)=\\sum\\limits_{i=1}^n(f*g)(i)-\\sum\\limits_{i=2}^ng(i)S(\\dfrac{n}{i})$

$f=\\mu, g=I,f*g=\\epsilon$

$\\sum\\limits_{i=1}^n\\epsilon(i)=1$

$\\sum\\limits_{i=2}^ng(i)S(\\dfrac{n}{i})$ 这一部分用整除分块+递归解决。

$\\sum\\limits_{i=l}^r I(i)=r-l+1$

采用预处理+记忆化节省时间。

核心代码：

unordered_map<int,int>smu;
int get_mu(int n){
	if(n<N) return mu[n];//线性筛预处理一部分(5e6)
	if(smu[n]) return smu[n];//记忆化
	ll s=1;//左部分
	for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){ //整除分块.
		r=n/(n/l);
		s-=(r-l+1)*get_mu(n/l);
	}
	return smu[n]=s;
}