P3327 [SDOI2015]约数个数和(莫反&整除分块)

Posted 2021-08-06 Harris-H

P3327 [SDOI2015]约数个数和(莫反&整除分块)

$d(ij)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)=1]$

该式子证明部分如下：

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然后就是简单套路了。

$\sum ^n\sum ^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{d|x,d|y}\mu (d)$

$\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _i^n\sum _j^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}[d|gcd(x,y)]$

$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{x=1}^n\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{y}\rfloor [d|gcd(x,y)]$

$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\sum _{x=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}\lfloor \frac{n}{xd}\rfloor \lfloor \frac{m}{yd}\rfloor$

$\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)(\sum _{x=1}^{\frac{n}{d}}\lfloor \frac{n}{xd}\rfloor {)}^2$

后面就是整除分块，预处理一下前缀和，左边就是$\mu$ 线筛预处理前缀和即可。

然后再整除分块一下就欧克了。

code

// Problem: P3327 [SDOI2015]约数个数和
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3327
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-07-07 19:25:15
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=5e4+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
int mu[N],p[N],cnt;
ll pre[N];
bitset<N>vis;
void init(int n){
	vis[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=mu[i]*mu[p[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mu[i]+=mu[i-1];
		ll s=0;
		for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){
			r=(i/(i/l));
			s+=1LL*(r-l+1)*(i/l);
		}
		pre[i]=s;
	}
}
ll fun(int n,int m){
	ll s=0;
	for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		s+=1LL*pre[n/l]*pre[m/l]*(mu[r]-mu[l-1]);
	}
	return s;
}
int main(){
	int t;scanf("%d",&t);
	init(N-1);
	while(t--){
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%lld\\n",fun(n,m));
	}
	return 0;
}