P2522 [HAOI2011]Problem b(莫反&整除分块)

Posted 2021-08-06 Harris-H

P2522 [HAOI2011]Problem b(莫反&整除分块)

$\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k]$

就是$f(n,m,k)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=c}^m[gcd(i,j)=k]$

的变形。

直接容斥一下。

$ans=f(b,d,k)-f(a-1,d,k)-f(a,c-1,k)+f(a-1,c-1,k)$

而$f(n,m,k)=\sum _{d=1}^{min(n/k,m/k)}\mu (d)\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \lfloor \frac{m}{kd}\rfloor$

线筛+预处理+整除分块，就可以秒了。

code

// Problem: P3327 [SDOI2015]约数个数和
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3327
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-07-07 19:25:15
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=5e4+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
int mu[N],p[N],cnt;
ll pre[N];
bitset<N>vis;
void init(int n){
	vis[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=mu[i]*mu[p[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int a,b,c,d,k;
ll fun(int n,int m){
	n/=k,m/=k;
	ll s=0;
	for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		s+=1LL*(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(m/l);
	}
	return s;
}
int main(){
	int t;scanf("%d",&t);
	init(N-1);
	while(t--){
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		printf("%lld\\n",fun(b,d)-fun(a-1,d)-fun(b,c-1)+fun(a-1,c-1));
	}
	return 0;
}