数分题集01

Posted 2021-08-04 梧桐鹿

贝塔函数的简单应用

本题来源于哈尔滨工业大学第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题一。

设

\\[\\rho(\\xi)=\\frac{1}{\\pi} \\cdot \\frac{y}{(\\xi-x)^{2}+y^{2}} \\]

\\[f(y)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}|\\xi-x|^{\\frac{1}{2}} \\rho(\\xi) \\mathrm{d} \\xi \\]

其中 \\(\\xi,x\\) 为任意实数, \\(y\\) 为正实数. 求 \\(f (x)\\) 的表达式.

Solution: 本题是含绝对值的广义定积分,首先应该分区间去掉绝对值

\\[\\begin{align*} f\\left( y \\right) =&\\frac{1}{\\pi}\\int_{-\\infty}^x{\\left( x-\\xi \\right)}^{\\frac{1}{2}}\\frac{y}{\\left( \\xi -x \\right) ^2+y^2}\\text{d}\\xi +\\frac{1}{\\pi} \\int_{x}^{+\\infty }(\\xi-x)^{\\frac12}\\frac{y}{\\left( \\xi -x \\right) ^2+y^2}\\text{d}\\xi\\\\ \\xlongequal[]{t=\\xi-x}&\\frac{1}{\\pi}\\int _{-\\infty }^0(-t)^{\\frac12}\\frac{y}{t^2+y^2}{\\rm d}t +\\frac1\\pi \\int _{0}^{+\\infty}t^{\\frac12}\\frac{y}{t^2+y^2}{\\rm d}t\\\\ =&\\frac{2}{\\pi} \\int _{0}^{+\\infty}t^{\\frac12}\\frac{y}{t^2+y^2}{\\rm d}t \\xlongequal[]{t=k^2}\\frac{4y}{\\pi}\\int _{0}^{+\\infty}\\frac{k^2}{k^4+y^2}{\\rm d}k \\end{align*} \\]

继续换元有

\\[\\begin{align*} \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{k^{2}}{k^{4}+y^{2}} \\mathrm{~d} k \\xlongequal[]{k^{2}=y \\tan \\theta}&\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{y \\tan \\theta}{y^{2} \\sec ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{\\sqrt{y} \\sec ^{2} \\theta}{2 \\sqrt{\\tan \\theta}} \\mathrm{d} \\theta \\\\ =&\\frac{1}{2 \\sqrt{y}} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{\\frac{1}{2}} \\theta \\cdot \\cos ^{\\frac{1}{2}} \\theta \\mathrm{d} \\theta \\end{align*} \\]

利用Beta函数及余元公式易得

\\[\\begin{aligned} f(y) &=\\frac{4 y}{\\pi} \\int_{0}^{+\\infty} \\frac{k^{2}}{k^{4}+y^{2}} \\mathrm{~d} k \\\\ &=\\frac{4 y}{\\pi \\cdot 2 \\sqrt{y}} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{\\frac{1}{2}} \\theta \\cdot \\cos ^{\\frac{1}{2}} \\theta \\mathrm{d} \\theta \\\\ &=\\frac{\\sqrt{y}}{\\pi} B\\left(\\frac{3}{4}, \\frac{1}{4}\\right)=\\sqrt{2 y} \\end{aligned} \\]

从而得到

\\[f(x)=\\sqrt{2x} \\]

\\(\\square\\)