最长公共上升子序列

Posted 2021-08-04 行码棋

最长公共上升子序列

题目：
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列 A 和 B 的长度均不超过 3000

输入格式
第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。
第二行包含 N 个整数，表示数列 A。
第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度
数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 231−1。

输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2

$dp[i][j]$代表a序列的前i个，b序列的前j个，且b序列包括$b[j]$的最长上升公共子序列的最大数

状态转移方程：

以包含不包含$a[i]$为分类依据；
包含$a[i]:dp[i-1][j]$
不包含$a[i]$:
设a序列的最长公共上升子序列的倒数第二个元素为b[1],b[2]…b[j-1],因为我们假设两个子序列是公共的，所以要求这么多的最大值，可以表示为$dp[i][k]$,$k$是从$1$到$j-1$的，还有一个只包括a[i]的元素的情况，这时候和1取最大值。

优化前

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3010;
int a[N],b[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(a[i]==b[j])
            {
                
                for(int k=1;k<j;k++)
                {
                    if(b[k]<b[j])
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+1);
                }
                dp[i][j] = max(dp[i][j],1);
            }
        }
        
    }
    int res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res = max(res,dp[n][i]);
    cout<<res<<'\\n';
    return 0;
}

优化后

对代码做等价变形

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3010;
int a[N],b[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int mx = 1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(a[i]==b[j]) dp[i][j] = max(dp[i][j],mx);
            if(b[j]<a[i]) mx = max(mx,dp[i][j]+1);
        }
        
    }
    int res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res = max(res,dp[n][i]);
    cout<<res<<'\\n';
    return 0;
}