专题二 MATLAB矩阵处理

Posted 2021-08-04 晁棠

本篇是B站视频的笔记。

2.1 特殊矩阵

通用性的特殊矩阵

• zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
• ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
• eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
• rand函数：产生（0,1）区间均匀分布的随机矩阵。
• randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
  其调用格式相似，以zeros函数的调用格式为例：
  • zeros(m)：产生m * m零矩阵。
  • zeros(m,n)：产生m * n零矩阵。
  • zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

用于专门学科的特殊矩阵

（1）魔方矩阵——Magic Square

>> M=magic(3)
M =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

• n阶魔方阵由1,2,3,…,n²共n²个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
• n阶魔方阵每行每列元素的和为(1+2+3+···+n²)/n=(n+n³)/2。
• MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。

（2）范德蒙矩阵

在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范德蒙（Vandermonde）矩阵。

>> A=vander(1:5)
A = 
     1     1     1     1     1
   16     8     4     2     1
   81   27     9     3     1
 256   64   16     4     1
 625 125   25     5     1

范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，例如，常用的Reed-Solomon编码即以范德蒙矩阵为基础。

（3）希尔伯特矩阵

在MATLAB中，生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。

>> format rat
>> H=hilb(4)
H = 
     1        1/2      1/3      1/4
     1/2     1/3      1/4      1/5
     1/3     1/4      1/5      1/6
     1/4     1/5      1/6      1/7

*希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，即任何一个元素发生较小的变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大的变化。病态程度和矩阵阶数相关，随着阶数的增加，病态更加严重。

（4）伴随矩阵

MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan§，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。
例如，生成多项式x³-2x²-5x+6的伴随矩阵。

>> p=[1,-2,-5,6];
>> A=compan(p)
A = 
     2     5    -6
     1     0     0
     0     1     0

（5）帕斯卡矩阵

• 根据二项式定理，(x+y)ⁿ展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表，这个三角形称为杨辉三角。
• 把二项式系数一次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素级委n阶帕斯卡(Pascal)矩阵。

帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加，即P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)，且P(i,1)=1,P(1,j)=1。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。

2.2 矩阵变换

对角阵

• 对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
• 数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
• 单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

（1）提取矩阵的对角线元素

• diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
• diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

（2）构造对角矩阵

• diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
• diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

三角阵

（1）上三角矩阵

• triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
• triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素

>> triu(ones(4),-1)
ans =
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     0     1     1     1
     0     0     1     1

(2)下三角矩阵

在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

矩阵的转置

• 转置运算符是小数点后面接单引号（.’）。
• 共轭转置，其运算符是单引号（’），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。
  

矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可以省略。

矩阵的翻转

• fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
• flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

矩阵的求逆

对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

• inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

2.3 矩阵求值

方阵的行列式

把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。
· det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

矩阵的秩

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。

• rank(A)：求矩阵A的秩。

矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

• frace(A)：求矩阵A的迹。

向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

（1）向量的3中常用范数

• 向量1——范数：向量元素的绝对值之和。
• 向量2——范数：向量元素平方和的平方根。
• 向量无穷oo——范数：所有向量元素绝对值中的最大值。

在MATLAB中，求向量范数的函数为：

• norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2——范数。
• norm(V,1)：计算向量V的1——范数。
• norm(V,inf)：计算向量V的oo——范数。

（2）矩阵的范数

从属与3中向量范数，矩阵范数计算公式如下。

• 矩阵A的1——范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值。
• 矩阵A的2——范数：A’A（矩阵的转置与A本身的乘积）矩阵的最大特征值的平方根。
• 矩阵A的无穷oo——范数：所有矩阵航元素绝对值之和的最大值。

MATLAB提供了求3中矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。

矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

在MATLAB中，计算矩阵A的3中条件数的函数是：

• cond(A,1)：计算A的1——范数下的条件数。
• cond(A)或cond(A,2)：计算A的2——范数下的条件数。
• cond(A,inf)：计算A的oo——范数下的条件数。

2.4 矩阵的特征值与特征向量

矩阵特征值的数学定义

不多描述。

求矩阵的特征值与特征向量

函数调用格式用两种：

• E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
• [X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并参数矩阵X，X各列是相应的特征向量。

特征值的几何意义

2.5 稀疏矩阵

稀疏矩阵，0元素远远大于非0元素个数的矩阵。

矩阵的存储方式

• 完全存储方式
• 稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。注意，采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

稀疏存储方式的产生

（1）完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

• A=sparse(S)：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
• S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。

（2）直接建立稀疏存储矩阵

sparse函数的其他调用格式：

• sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵。
• sparse(u,v,S)：其中u、v、S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。

使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：B=spconvert(A)
A为一个m3或m4的矩阵，其每行代表一个非零元素，m是非零元素的个数。

• A(i,1)表示第i个非零元素所在的行。
• A(i,2)表示第i个非零元素所在的列。
• A(i,3)表示第i个非零元素值的实部。
• A(i,4)表示第i个非零元素的虚部。
  若矩阵的全部元素都是实数，则无需第4列。

（3）带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

• [B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。
• A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏矩阵A，其中m，n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有费零对角线的位置。

（4）单位矩阵的稀疏存储

speye(m,n)返回一个m*n的稀疏存储单位矩阵。

注意，当参与运算的数据对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果是完全存储形式。