关于 exgcd求逆元 我的理解

Posted 2021-08-04 Key Key Key

笔者蒟蒻一只，如有错误和不准确不严谨的地方望指正 orz

逆元

我们有时会在求概率等或答案为分数的题目中遇到求逆元的情况

模板->航电 hd-1576

遇到了求\\(\\bf{\\frac{A}{B}}\\)mod P 的问题

题目保证B和P互质

给出 n (A mod P 的值) 、B 、P

我们知道

\\[(A+B) mod P = \\big((A mod P)+(B mod P)\\big)mod P \\]

\\[(A-B) mod P = \\big((A mod P)-(B mod P)\\big)mod P \\]

\\[(A\\times B) mod P = \\big((A mod P)\\times (B mod P)\\big)mod P \\]

但是

\\[(A \\div B) mod P \\neq \\big((AmodP)\\div (BmodP)\\big)mod P \\]

那该怎么办呢

我们可以想办法将它化成乘法形式 满足上面的第三个公式

学过倒数,我们想到了

\\[(A \\div B)mod P=(\\frac{A}{B})mod P=(A\\times B^{-1})mod P \\]

那么，由上述的关于乘方取余数的式子得到

\\[(A\\times B^{-1}) mod P = \\big((A mod P)\\times (B^{-1} mod P) \\big)mod P \\]

由题目得 A mod P 的值为 n

之后题目就转化成了 求 \\(\\frac{1}{B}\\)​mod P 的值

问题又来了 \\(\\frac{1}{B}\\) 的值该怎么求呢

它满足

\\[(B\\times B^{-1}) mod P=1 \\]

所以定义 \\(\\frac{1}{B}\\) 叫做B关于P的逆（B也是 \\(\\frac{1}{B}\\) 关于P的逆元

可以表示为

\\[B\\equiv B^{-1}(mod\\;P) \\]

继续进行式子的变形 上上一个式子等价于

\\[B\\times B^{-1}=1+k\\times P\\qquad k\\ge0 \\]

\\[B\\times B^{-1}-k\\times P=1\\qquad k\\ge0 \\]

到此就用到了扩展欧几里得 exgcd

\\[扩展欧几里得:给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b) \\]

这里使用exgcd就求出来 B 的逆元 了

接着返回题目中 用 B的逆元 乘 n 再对 P 取模就可了

扩展欧几里得 exgcd

\\[ax+by=gcd(a,b) \\]

\\[ax+by=gcd(b,a\\,mod\\,b) \\]

\\[ax+by=bx_{0}+(a\\,mod\\,b)y_{0} \\]

\\[ax+by=bx_{0}+(a-(\\lfloor {\\frac {a} {b}}\\rfloor\\times b)y_{0} \\]

\\[ax+by=bx_{0}+ay_{0}-\\lfloor {\\frac {a} {b}}\\rfloor\\times by_{0} \\]

\\[ax+by=ay_{0}+b(x_{0}-\\lfloor {\\frac {a} {b}}\\rfloor\\times y_{0}) \\]

通过这一波转化就可以把公式递归下去了

code

exgcd:

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	ll tx=x,ty=y;
	ll g=exgcd(b,a%b,tx,ty);
	ll t=x;
	x=ty;
	y=tx-(a/b)*ty;
}

求逆元 (求 n 关于 m 的逆元):

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t = x;
        x = y;
        y = t - a/b*y;
    return r;
}
ll inv(ll n,ll m){
    ll x,y;
    ll ans = exgcd(n,m,x,y);
    if(ans == 1)
        return (x%m+m)%m;
		else
        return -1;
}

hd-1576:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t = x;
        x = y;
        y = t - a/b*y;
    return r;
}
ll inv(ll n,ll m){
    ll x,y;
    ll ans = exgcd(n,m,x,y);
    if(ans == 1)
        return (x%m+m)%m;
		else
        return -1;
}
int main(){
    ll n,m;
	ll t;
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		ll ans = inv(m,9973);
		cout<<(n*ans)%9973<<endl;
	}
	return 0;
}