快速幂总结

Posted 2021-07-01 天外天

快速幂问题

即求：\\(a^b \\mod c\\)

暴力

直接暴力

时间复杂度：\\(O(b)\\)

int ans = 1,i;
for(i=0;i<b;i++)
    ans *= a;
ans %= c;

问题在于当a，b过大时，容易溢出。

优化溢出

时间复杂度：\\(O(b)\\)

首先明确2个公式：

1. \\(a^b \\mod c = [(a \\mod c)^b] \\mod c\\)
2. \\((a*b) \\mod c = [(a \\mod c)*(b \\mod c)] \\mod c\\)

即：积的取余等于取余的积的取余！

证明：
设：\\(d = a \\mod c, e = b \\mod c\\)
则：\\(a = t*c+d, b = k*c+e\\)
可以推出：

\\[a*b \\equiv x*c+d*e \\equiv d*e \\pmod c \\]

公式1可由公式2推得。

int ans = 1,i;
a %= c;
for(i=0;i<b;i++)
    ans *= a;
ans %= c;

这个改进不大，只是减小了数据溢出的可能。

快速幂

时间复杂度：\\(O(\\log_2{b})\\)

公式：

\\[a^b \\mod c = (a^2)^ \\left( b/2 \\right) \\mod c, 当b为偶 \\]

\\[a^b \\mod c = ((a^2)^ \\left( b/2 \\right) * a) \\mod c, 当b为奇 \\]

依据上述两个公式，令\\(k = a^2 \\mod c\\)，我们可以得出如下结论：

1. 当b是偶数，即求\\(k^{b/2} \\mod c\\)
2. 当b是奇数，即求\\(((k^{b/2} \\mod c) * a) \\mod c\\)

每次用此公式迭代即为快速幂取余算法！

int ans = 1;
a %= c;
while(b>0)
{
    if(b%2==1)  ans = (ans *a)%c;
    b /= 2;
    a = (a*a)%c;
}

看了算法竞赛（刘汝佳）之后发现还有一种写法，思想相同，用递归实现，代码：

int pow_mod(int a,int b,int c)
{
    if(b==0) return 1;
    int x = pow_mod(a,b/2,c);
    long long ans = (long long)x * x % c;
    if(b%2==1) ans = ans * a % c;
    return (int)ans;
}