hdu1232 并查集总结

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了hdu1232 并查集总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

前言

在一些有N个元素的集合应用问题中,我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合,然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并,其间要反复查找一个元素在哪个集合中。
这一类问题其特点是看似并不复杂,但数据量极大,若用正常的数据结构来描述的话,往往在空间上过大,计算机无法承受;即使在空间上勉强通过,运行的时间复杂度也极高,根本就不可能在规定的运行时间(1~3秒)内计算出试题需要的结果,只能用并查集来描述。

定义

并查集(Disjoint Set),即“不相交集合”,是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合,也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合,在每个集合中,选择其中某个元素代表所在集合。

常见两种操作:

  • 合并两个集合
  • 查找某元素属于哪个集合

用编号最小的元素标记所在集合;定义一个数组set[1...n],其中set[i]表示元素i 所在的集合;
image

算法实现

查找

时间复杂度:\\(O(1)\\)

find1(x)
{
    return set[x];
}

合并

时间复杂度:\\(O(n)\\)

Merge1(a,b)
{
    i = min(a,b);
    j = max(a,b);
    for (k = 1; k <= N; k++) {
        if (set[k] == j)
            set[k] = i;
    }
}

对于合并操作,必须搜索全部元素!有没有可以改进的地方呢?

算法的优化

使用树结构

每个集合用一棵“有根树”表示,定义数组set[1...n]

  • set[i] = i,则 i 表示本集合,并且是集合所对应树的根
  • set[i] = j,j<>i,则 j 是 i 的父节点
    image

查找

时间复杂度(最坏):\\(O(n)\\)

find2(x)
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}

合并

时间复杂度:\\(O(1)\\)

merge2(a, b)
{
    if (a<b)
       set[b] = a;
    else
       set[a] = b;
}

避免最坏情况

方法:将深度小的树合并到深度大的树
实现:假设两棵树的深度分别为h1和h2, 合并后的树的高度为h,则

\\[h = \\begin{cases} max(h1, h2), & \\text{if h1<>h2} \\\\ h1+1, & \\text{if h1=h2} \\end{cases} \\]

效果:任意顺序的合并操作以后,包含k个节点的树的最大高度不超过\\(\\log_2{k}\\)

查找

时间复杂度:\\(O(\\log_2{n})\\)

find2(x)
{
   r = x;
   while (set[r] != r)
      r = set[r];
   return r;
}

合并

时间复杂度:\\(O(1)\\)

merge3(a,b)
{
    if (height(a) == height(b)) {
       height(a) = height(a) + 1;
       set[b] = a;
    } else if (height(a) < height(b)) {
       set[a] = b;
    } else {
       set[b] = a;
    }
}

路径压缩

思想:每次查找的时候,如果路径较长,则修改信息,以便下次查找的时候速度更快。

步骤:

  1. 找到根结点
  2. 修改查找路径上的所有节点,将它们都指向根结点

路径压缩示意图:
image

查找

find3(x)
{
      r = x;
      while (set[r] != r) //循环结束,则找到根节点
          r = set[r];
      i = x;
      while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点
      {
          j = set[i];
          set[i] = r;
          i = j;
      }
}

hdu1232

#include<stdio.h>
int x[1005];
int min(int a,int b);
int max(int a,int b);
void xs(int a,int b);
int fine(int a);
int main()
{
    int n,m,i,a,b;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        int sum = -1;
        scanf("%d",&m);
        for(i=1;i<=n;i++) x[i]=i;   //首先把各自的父节点设为自身
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            xs(a,b);  //合并两个集合
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(x[i]==i) sum++;    //算出(最后不同集合的个数-1)即为所求
        }
        printf("%d\\n",sum);
    }
    return 0;
}
int min(int a,int b)
{
    return a<b ? a : b;
}
int max(int a,int b)
{
    return a>b ? a : b;
}
int fine(int a)
{
    if(x[a]==a) return a;
    else return fine(x[a]);
}
void xs(int a,int b)
{
    x[max(fine(a),fine(b))] = min(fine(a),fine(b));
}

以上是关于hdu1232 并查集总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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