「2017 山东一轮集训 Day6」子序列

Posted 2021-06-25 AzusaCat

多次询问区间本质不同子序列数，强制在线。\\(n,q\\leqslant 10^6\\)，\\(\\Sigma=\\{0,1,\\dots,25\\}\\)。

设 \\(m=|\\Sigma|\\)。

考虑每次询问朴素 dp，根据贪心我们在每一个子序列第一次出现的地方计算贡献，设 \\(f(i,j)\\) 表示前 \\(i\\) 个字符，最后一个字母是 \\(j\\) 的子序列的方案数，特殊的让 \\(f(i,m)\\) 表示子序列为空的方案数。那么转移为

\\[\\begin{aligned} f(i,j)=\\begin{cases} \\sum_k f(i-1,k) & j=s_i\\\\ f(i-1,j) & \\mathrm{otherwise} \\end{cases} \\end{aligned} \\]

答案为 \\(\\sum_kf(n,k)-1\\) 朴素 dp 复杂度为 \\(O(nmq)\\)。

考虑把转移写成矩阵形式，则

\\[ans=UA_l\\dots A_rV \\]

其中：

\\[U=\\begin{pmatrix} 0 & 0 & \\dots & 0 & 1 \\end{pmatrix}\\\\ A_l=\\begin{pmatrix} 1 & & 1 & & \\\\ & 1 & 1 & & \\\\ & & 1 & & \\\\ & & \\vdots & \\ddots & \\\\ & & 1 & & 1 \\end{pmatrix}\\\\ V=\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ \\vdots \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} \\]

其中 \\(A_l\\) 的主对角线和第 \\(s_l\\) 列为 1，其它位置为 0。

考虑这可以使用前缀积的方式快速维护，设 \\(S_i\\) 表示 \\(A_1\\dots A_i\\)，\\(T_i\\) 表示 \\(A_i^{-1}\\dots A_1^{-1}\\)，则答案可以表示为 \\(UT_{l-1}S_rV\\) 的形式。通过手动消元或者实际意义可知 \\(A_i^{-1}\\) 为

\\[\\begin{pmatrix} 1 & & -1 & & \\\\ & 1 & -1 & & \\\\ & & 1 & & \\\\ & & \\vdots & \\ddots & \\\\ & & -1 & & 1 \\end{pmatrix} \\]

这样可以做到 \\(O(n+q)m^3\\)。

考虑优化，我们考虑每一次右乘上 \\(A_i\\) 对矩阵的变化，我们发现，这相当于让第 \\(s_i\\) 列每个数字变成该行的和，同时我们注意到我们只在乎其乘上列向量 \\(V\\) 的值，即每行的和，所以我们只需要在维护矩阵的同时额外维护每行的和即可。

类似，考虑左乘 \\(A_i^{-1}\\) 对矩阵的变化，这相当于让每一列除了第 \\(s_i\\) 个元素都减去第 \\(s_i\\) 个元素，我们这次要求的是最后一行的每个元素的值，对每列额外维护一个列加 tag 即可每次 \\(O(m)\\) 更新与查询。最后的总复杂度是 \\(O((n+q)m)\\)。