本题见于考研数学李林老师的微信公众号“李林考研数学”
问题：设\\(\\displaystyle f\\left( x \\right)\\)在\\(\\displaystyle\\left[ a,b \\right]\\)上可导，且\\(\\displaystyle f\'\\left( x \\right) \\ne 0\\)。
(1)证明：至少存在一点\\(\\displaystyle\\xi \\in \\left( a,b \\right)\\)，使得
\\[\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}=f\\left( b \\right) \\left( \\xi -a \\right) +f\\left( a \\right) \\left( b-\\xi \\right)
\\]
(2)对(1)中的\\(\\displaystyle\\xi\\)，求
\\[\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\xi -a}{b-a}
\\]
过程如下：
(1)由于\\(\\displaystyle f\'\\left( x \\right) \\ne 0\\)，不妨设\\(\\displaystyle f\'\\left( x \\right) >0\\)
采用零点定理证明\\(\\displaystyle\\xi\\)的存在性，令
\\[F\\left( x \\right) =f\\left( b \\right) \\left( x-a \\right) +f\\left( a \\right) \\left( b-x \\right) -\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}
\\]
则有
\\[\\begin{equation*}
F\\left( a \\right) =f\\left( a \\right) \\left( b-a \\right) -\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}=\\int_a^b{\\left[ f\\left( a \\right) -f\\left( x \\right) \\right] \\text{d}x}<0
\\\\
F\\left( b \\right) =f\\left( b \\right) \\left( b-a \\right) -\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}=\\int_a^b{\\left[ f\\left( b \\right) -f\\left( x \\right) \\right] \\text{d}x}>0
\\end{equation*}
\\]
函数\\(\\displaystyle F\\left( x \\right)\\)满足零点定理的条件，由定理内容可知至少存在一点\\(\\displaystyle\\xi \\in \\left( a,b \\right)\\)使得\\(\\displaystyle F\\left( \\xi \\right) =0\\)，即
\\[\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}=f\\left( b \\right) \\left( \\xi -a \\right) +f\\left( a \\right) \\left( b-\\xi \\right)
\\]
(2)基于问题(1)得到的结论，不难发现可将\\(\\displaystyle\\xi\\)写成用\\(\\displaystyle a\\)与\\(\\displaystyle b\\)构成的表达式，得到
\\[\\xi =\\frac{\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}+af\\left( b \\right) -bf\\left( a \\right)}{f\\left( b \\right) -f\\left( a \\right)}
\\]
将其代入至极限式中，则有
\\[\\begin{align*}
\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\xi -a}{b-a}&=\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\frac{\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}+af\\left( b \\right) -bf\\left( a \\right)}{f\\left( b \\right) -f\\left( a \\right)}-a}{b-a}
\\\\
&=\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}+af\\left( b \\right) -bf\\left( a \\right) -a\\left[ f\\left( b \\right) -f\\left( a \\right) \\right]}{\\left( b-a \\right) \\left[ f\\left( b \\right) -f\\left( a \\right) \\right]}
\\\\
&=\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}-bf\\left( a \\right) +af\\left( a \\right)}{\\left( b-a \\right) ^2}\\cdot \\frac{b-a}{f\\left( b \\right) -f\\left( a \\right)}
\\\\
&=\\frac{1}{f\'\\left( a \\right)}\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}-bf\\left( a \\right) +af\\left( a \\right)}{\\left( b-a \\right) ^2}
\\\\
&=\\frac{1}{f\'\\left( a \\right)}\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{f\\left( b \\right) -f\\left( a \\right)}{2\\left( b-a \\right)}
\\\\
&=\\frac{1}{2f\'\\left( a \\right)}\\times f\'\\left( a \\right)
\\\\
&=\\frac{1}{2}
\\end{align*}
\\]
其中用到了洛必达法则及导数的定义。
对于上述过程中，如果不想洛必达，也可进行\\(\\text{Taylor}\\)展开，如下所示：
\\[\\begin{align*}
\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}&=\\int_a^a{f\\left( x \\right) \\text{d}x}+\\left( b-a \\right) f\\left( a \\right) +\\frac{\\left( b-a \\right) ^2}{2!}f\'\\left( \\eta \\right)
\\\\
&=\\left( b-a \\right) f\\left( a \\right) +\\frac{\\left( b-a \\right) ^2}{2!}f\'\\left( \\eta \\right)
\\end{align*}
\\]
其中\\(\\displaystyle a<\\eta <b\\)，对于过程中的一块极限，则可以如下进行处理：
\\[\\begin{align*}
\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\int_a^b{f\\left( x \\right) \\text{d}x}-bf\\left( a \\right) +af\\left( a \\right)}{\\left( b-a \\right) ^2}&=\\lim_{b\\rightarrow a^+} \\frac{\\left( b-a \\right) f\\left( a \\right) +\\frac{\\left( b-a \\right) ^2}{2!}f\'\\left( \\eta \\right) -bf\\left( a \\right) +af\\left( a \\right)}{\\left( b-a \\right) ^2}
\\\\
&=\\frac{1}{2}\\lim_{b\\rightarrow a^+} f\'\\left( \\eta \\right)
\\\\
&=\\frac{1}{2}f\'\\left( a \\right)
\\end{align*}
\\]