求逆元的四大基本方法

Posted 2021-06-24 star17

前几天在u裙见到有人说求逆元四大方法，就来写一下（
1、快速幂
仅限p是质数
a^(p-1)≡1(mod p)，则a*a^(p-2)≡1(mod p)，即a的逆元为a^(p-2)
代码

const int P=998244353;
int pow(ll a,ll p)
{
    ll r=1;
    for(;p;p>>=1,a=a*a%P;)if(p&1)r=r*a%P;
    return r;
}
int inv(ll a)
{
    return pow(a,P-2);
}

2、欧几里得
要求a与p互质
考虑求a的逆元就是解一个方程ax≡1(mod b)，即ax+by=1
这就很好做了，注意exgcd之后要把x搞成正的
代码

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
int inv(int a,int p)
{
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    x=((x%b)+b)%b;
}

3、递推
这个做法应该人人都会？
\\( 设ax+b=P，其中1<x<P,0\\leq b<x\\\\ 则ax+b≡0(mod P)\\\\ 同时乘上x^{-1}b^{-1}得到\\\\ a*b^{-1}+x^{-1}≡0(mod P)\\\\ x^{-1}≡-a*b^{-1}(mod P)\\\\ \\)

inv[1]=1;
for(int i=2;i<P;i++)inv[i]=(P-P/i*inv[P%i])%P;

还有一种递推阶乘的逆元，大概就是预处理一下阶乘f，随便找个方法求出inv(f[n])，
然后for(int i=n-1;i>=1;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%P;inv[i]表示f[i]的逆元

小拓展：O(n)求a1、a2、...、an的逆元
记\\(f_i=a_1*a_2*...*a_i,g_i为f_i的逆元\\)
用类似阶乘逆元的方式可以求出g_i
最后\\(a_i的逆元就是g_i*f_{i-1}\\)

4、牛顿迭代法
先鸽这，有空再补