大整数类 BigInt

Posted 2021-06-24 izlyforever

把自己的 个人C++17代码模板库 放在 github 后，发现没有 BigInt，于是有了这篇博客，搜了一下相当有的几个例子，发现都不够全面，或者说不够高效，于是就自己尝试一下。那么就有几个问题

• 用什么存数据
• 内部逻辑几进制
• 乘法和除法怎么实现
• 最终哪些功能要实现
• 与 Boost 的大数比较性能如何

代码仓库，这里就当作放文档的地方吧

存储

首先肯定会用类似多项式方式存大数，自然会想到用 vector<T>，现在问题是 \\(T\\) 是什么

• 不能是 bool，因为 vector<bool> 不是容器，水很深，我把握不住。
• char, short, int, long long 选什么呢？因为我要用 NTT，因此只能在 int 和 long long 中选择，但是如果用 long long 基础乘法时不可避免出现 __int128 十分影响效率，最终选择 int
• 有符号还是无符号：有符号，因为在出现 NTT 会出现减法，此时很可能就会模 \\(2^{32}\\) 直接爆炸

再用一个 flag 存储符号。

逻辑

先继承 vector<int> 然后用 sgn 存储符号。

• 取负号，自己改变符号（为了高效），+ 也太鸡肋了就不搞了，判断是否相等
• 实现大小比较
• 实现加法减法
• 实现逻辑比较
• 用 NTT 实现乘法
• 用 牛顿法实现除法

由于 NTT 的使用中，能选取的最佳模数为 \\(469762049 = 7 \\cdot 2^{26} + 1\\) 又由于 \\(2^{2^{25}} \\simeq 10^{10^7}\\) ，所以数的十进制表示长度不能超过 \\(10^7\\)（其实如果超过了一次除法，甚至乘法估计也是跑不动的）

基础功能

• +=,-=,*=,/=
• ++,--(前缀)，后缀版本太蠢了
• 位运算
• 与基础数据交互，类型转化int, LL, string
• IO
• 支持 lg（2 为底数）

拓展功能

• gcd，lcm， pow，sqrt，cbrt，任意次开方
• 静态：big_random: 利用 mt19937?

与 Boost 比较

#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>
using BINT = boost::multiprecision::cpp_int;